Nature et évaluation des connaissances conceptuelles et procédurales en mathématiques

Comprendre pourquoi une procédure fonctionne et savoir l’exécuter correctement sont deux formes de compétence mathématique qui, bien qu’étroitement liées, ne se recouvrent pas entièrement. Cette distinction entre une connaissance de la structure mathématique (les concepts, les relations, les principes) et une connaissance du comment (les procédures, les algorithmes, les séquences d’actions) constitue l’un des cadres les plus anciens et les plus productifs de la recherche sur l’apprentissage des mathématiques (Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Les connaissances conceptuelles et les connaissances procédurales sont deux composantes complémentaires de l’expertise mathématique.

Les connaissances conceptuelles et procédurales sont fortement spécifiques au domaine. Les connaissances acquises dans un domaine mathématique (par exemple les fractions, l’algèbre ou la géométrie) ne se transfèrent que partiellement vers d’autres domaines. Elles sont organisées autour de contenus particuliers plutôt que comme des capacités générales (National Mathematics Advisory Panel, 2008 ; Schneider et coll., 2011).

Cette spécificité a été confirmée par une étude utilisant l’analyse factorielle confirmatoire. D’Erchier et coll. (2026) ont comparé les connaissances conceptuelles et procédurales d’élèves dans deux domaines distincts, les fractions et l’algèbre. Les quatre construits (connaissances conceptuelles et procédurales dans chacun des deux domaines) se sont révélés empiriquement séparables, les corrélations étant plus fortes entre types de connaissances correspondants qu’entre domaines différents. Ces résultats s’inscrivent dans une conception contemporaine de la cognition mathématique comme un ensemble de composantes partiellement distinctes plutôt que comme une aptitude générale unique (Gilmore, 2023).

Les connaissances conceptuelles sont généralement définies comme la connaissance des concepts, c’est-à-dire de principes abstraits et généraux (Byrnes & Wasik, 1991 ; Canobi, 2009 ; Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001). Le National Research Council américain a proposé une définition largement reprise dans la littérature, selon laquelle les connaissances conceptuelles correspondent à la compréhension des concepts, des opérations et des relations mathématiques (Kilpatrick et coll., 2001).

Les connaissances conceptuelles permettent de comprendre pourquoi une procédure fonctionne, de relier différentes représentations d’un même objet mathématique et d’établir des liens entre plusieurs concepts (Hiebert & Lefevre, 1986 ; Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Elles concernent notamment les propriétés des opérations, les relations entre quantités, les principes algébriques ou les invariants géométriques.

Les recherches récentes soulignent également que les connaissances conceptuelles peuvent être explicites ou implicites. Un élève peut manifester une compréhension correcte d’un principe mathématique dans son comportement sans être capable d’en fournir une justification verbale complète. À l’inverse, la verbalisation d’une règle ne garantit pas nécessairement une compréhension conceptuelle profonde. Les connaissances conceptuelles ne doivent donc pas être réduites aux seules connaissances déclaratives verbalisables (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Star, 2005).

L’évaluation des connaissances conceptuelles nécessite des tâches différentes de celles utilisées pour mesurer la maîtrise procédurale. Les problèmes proposés doivent être relativement peu familiers, afin de limiter le recours à l’application automatique d’une procédure déjà apprise. Les élèves doivent alors mobiliser leur compréhension des relations mathématiques pour raisonner, expliquer, comparer plusieurs stratégies, identifier des erreurs, choisir entre différentes représentations ou résoudre un problème nouveau à partir de principes connus. Ces tâches offrent une meilleure validité pour mesurer la compréhension conceptuelle que les exercices routiniers (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Schneider et coll., 2011).

Ce critère de nouveauté relative est déterminant. Un problème habituellement utilisé pour évaluer la compréhension d’un concept — par exemple, comparer la grandeur de deux nombres — peut en réalité mesurer une connaissance procédurale si les élèves ont reçu un enseignement explicite d’une procédure de comparaison ou en ont développé une par la pratique (Rittle-Johnson & Schneider, 2015).

Les connaissances conceptuelles se rapportent en général à plusieurs concepts interdépendants au sein d’un même domaine. Dès lors, il est recommandé d’utiliser plusieurs tâches pour une même notion, ce qui réduit l’influence de caractéristiques propres à une tâche particulière sur le score obtenu (Schneider & Stern, 2010).

Les connaissances procédurales correspondent à la maîtrise des procédures permettant de résoudre des catégories particulières de problèmes. Une procédure est une séquence organisée d’actions ou d’étapes conduisant à un objectif déterminé. Les procédures comprennent aussi bien les algorithmes écrits que les stratégies de calcul mental ou les méthodes de résolution de problèmes (Hiebert & Lefevre, 1986 ; Star, 2005).

Ces connaissances se développent principalement grâce à la pratique répétée et à l’automatisation progressive des procédures. Elles sont généralement liées à des classes particulières de problèmes plutôt qu’à des principes généraux. À mesure que l’expérience augmente, les procédures deviennent plus rapides, plus précises et mobilisent moins de ressources cognitives. Elles libèrent ainsi de la mémoire de travail pour le raisonnement et la résolution de problèmes plus complexes (National Mathematics Advisory Panel, 2008 ; Rittle-Johnson & Schneider, 2015).

L’évaluation des connaissances procédurales repose principalement sur des problèmes familiers, correspondant à des types de tâches déjà rencontrés pendant l’enseignement. Les indicateurs utilisés sont généralement l’exactitude des réponses, la qualité de l’application de la procédure, parfois la rapidité d’exécution lorsque celle-ci constitue un objectif d’apprentissage pertinent. L’objectif est de déterminer si l’élève maîtrise efficacement les procédures appropriées pour une catégorie donnée de problèmes (Schneider et coll., 2011 ; Star, 2005). Contrairement aux tâches conceptuelles, les tâches procédurales doivent être familières : elles portent sur des types de problèmes que les personnes évaluées ont déjà rencontrés et résolus, et pour lesquels elles sont censées disposer d’une procédure de résolution.

Certaines évaluations recourent néanmoins à des problèmes de transfert proche. Il s’agit de problèmes comportant une caractéristique inhabituelle, qui exige soit de reconnaître qu’une procédure déjà connue demeure pertinente, soit d’adapter légèrement cette procédure pour tenir compte de cet élément inédit (Renkl, Stark, Gruber, & Mandl, 1998 ; Rittle-Johnson, 2006). La réussite dépend alors de la capacité de l’élève à reconnaître qu’une procédure déjà connue demeure pertinente ou à l’adapter légèrement à une nouvelle situation. En revanche, ces tâches ne mobilisent pas un changement profond de structure conceptuelle, contrairement aux situations de transfert éloigné (Barnett & Ceci, 2002 ; National Mathematics Advisory Panel, 2008).

La plupart des tâches mathématiques mobilisent simultanément les deux formes de connaissances, et une même tâche peut solliciter davantage l’une ou l’autre selon l’historique d’apprentissage de la personne évaluée (Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Ce constat invite à la prudence dans l’interprétation de toute mesure isolée : un score obtenu à une tâche « conceptuelle » peut, chez un individu ayant automatisé une procédure pour ce type de problème, refléter en réalité une connaissance procédurale.

Cette distinction entre types de connaissances n’implique pas une opposition entre deux voies d’apprentissage indépendantes. Les données empiriques disponibles indiquent au contraire que les connaissances conceptuelles et procédurales entretiennent des relations bidirectionnelles et itératives au cours du développement, chacune soutenant des progrès dans l’autre. Cette interaction réciproque est aujourd’hui considérée comme l’un des principaux moteurs du développement de l’expertise mathématique (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Schneider et coll., 2011). Une meilleure compréhension conceptuelle favorise l’acquisition et l’adaptation des procédures, tandis que la pratique procédurale peut progressivement enrichir la compréhension conceptuelle.

Ces éléments théoriques et méthodologiques ont plusieurs implications directes pour la conception des évaluations en classe de mathématiques :

• Une évaluation destinée à mesurer la compréhension conceptuelle d’une notion doit proposer des tâches suffisamment inédites pour empêcher le recours à une procédure mémorisée. À défaut, elle risque de ne mesurer qu’une compétence procédurale déguisée en tâche conceptuelle (Rittle-Johnson & Schneider, 2015).

• Une évaluation de la maîtrise procédurale gagne à inclure, au-delà de problèmes strictement routiniers, quelques problèmes de transfert proche. Ceux-ci renseignent sur la flexibilité avec laquelle les élèves mobilisent une procédure connue face à une variation mineure de l’énoncé (Renkl et coll., 1998 ; Rittle-Johnson, 2006).

• Ces deux formes de connaissances sont spécifiques au domaine mathématique concerné. Dès lors, les inférences tirées d’une évaluation portant sur un contenu (par exemple les fractions) ne peuvent être étendues sans précaution à un autre contenu (par exemple l’algèbre). Cela reste le cas même lorsque les processus cognitifs sollicités semblent proches (D’Erchie et coll., 2026).

• Dans la mesure où les deux types de connaissances se renforcent mutuellement, un enseignement qui articule explicitement pratique procédurale et discussion des concepts sous-jacents est susceptible de soutenir un développement plus robuste des deux formes de compétence que des séquences d’enseignement centrées exclusivement sur l’une ou l’autre (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015).

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