Funksioni drejtkëndor

Funksioni drejtkëndor me a = 1.

Funksioni drejtkëndor (i njohur gjithashtu si funksioni i portës ose pulsi njësi) përcaktohet në këtë mënyrë:

$$\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{nëse }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{nëse }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{nëse }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.$$

Përkufizimet alternative të funksionit e përcaktojnë $\operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)$ të jetë 0, 1, ose të papërcaktuar.

Versioni i tij periodik quhet valë drejtkëndore.

Transformimi i Furierit i funksionit drejtkëndor

Grafiku i funksionit të normalizuar $\operatorname {sinc} (x)$ (d.m.th. $\operatorname {sinc} (\pi x)$) me përbërësit e tij të frekuencës spektrale.

Transformimi unitar i Furierit i funksionit drejtkëndor është: $$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),$$ duke përdorur frekuencën e zakonshme f, ku $\operatorname {sinc} _{\pi }$ është forma e normalizuar e funksionit sinc dhe:

$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),$$ duke përdorur frekuencën këndore $\omega$, ku $\operatorname {sinc}$ është forma e panormalizuar e funksionit sinc.

Për $\operatorname {rect} (x/a)$, transformimi i tij i Furierit është: $$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.$$

Vini re se për sa kohë që përkufizimi i funksionit të pulsit motivohet vetëm nga sjellja e tij në rrafshin kohor, nuk ka asnjë arsye për të besuar se funksioni i Transformimit të Furierit duhet të jetë intuitiv ose të kuptohet drejtpërdrejt. Megjithatë, disa aspekte të rezultatit teorik mund të kuptohen në mënyrë intuitive, pasi kufizueshmëria (finitesa) në rrafshin kohor përkon me një përgjigje të pafundme në frekuencë. (Anasjelltas, një transformim i fundmë i Furierit do t'i korrespondojë një përgjigjeje të pafundme në domenin kohor).

Përdorimi në probabilitet

Duke parë funksionin drejtkëndor si një funksion të dendësisë së probabilitetit (FDP), ai është një rast i veçantë i shpërndarjes uniforme të vazhdueshme me $a=-1/2,b=1/2.$ Funksioni karakteristik i tij është:

$$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},$$

dhe funksioni i tij gjenerues i momenteve është:

$$M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},$$

ku $\sinh(t)$ është funksioni sinus hiperbolik.

Funksioni delta i Dirakut

Funksioni drejtkëndor mund të përdoret për të përfaqësuar funksionin delta të Dirakut $\delta (x)$. Konkretisht: $$\delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).$$