Tabella di contingenza

Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.

Esempi

Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, per esempio:

Capelli Occhi	biondi	non biondi	Totale
chiari	21	19	40
non chiari	9	51	60
Totale	30	70	100

in cui, tra le 100 persone esaminate, 30 hanno capelli biondi, 40 hanno occhi chiari, e 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella.

Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, ad esempio in base al valore assunto dall'indice di contingenza quadratico $\chi ^{2}$ (di Pearson).

Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con $X$ e $Y$ , e rispettivamente con $x_{i}\;(i=1,2,\dots ,h)$ e $y_{j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ le modalità rilevate per le due variabili, a ogni coppia $(x_{i},y_{j})$ si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata $n_{i,j}$ , cioè il numero di elementi, tra gli $n$ della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità $x_{i}$ di $X$ e $y_{j}$ di $Y$ .

Y X	$y_{1}$	$y_{2}$	$\dots$	$y_{j}$	$\dots$	$y_{k}$	Totale
$x_{1}$	$n_{1,1}$	$n_{1,2}$	$\dots$	$n_{1,j}$	$\dots$	$n_{1,k}$	$n_{1,\cdot }$
$x_{2}$	$n_{2,1}$	$n_{2,2}$	$\dots$	$n_{2,j}$	$\dots$	$n_{2,k}$	$n_{2,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_{i}$	$n_{i,1}$	$n_{i,2}$	$\dots$	$n_{i,j}$	$\dots$	$n_{i,k}$	$n_{i,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$
$x_{h}$	$n_{h,1}$	$n_{h,2}$	$\dots$	$n_{h,j}$	$\dots$	$n_{h,k}$	$n_{h,\cdot }$
Totale	$n_{\cdot ,1}$	$n_{\cdot ,2}$	$\dots$	$n_{\cdot ,j}$	$\dots$	$n_{\cdot ,k}$	$n$

dove

$n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}\;(i=1,2,\dots ,h)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $X$ ,
$n_{\cdot ,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $Y$ .

Sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità $n$ della popolazione:

$\sum _{i=1}^{h}\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{\cdot ,j}=n$

Dalle frequenze assolute $n_{i,j}$ si ottengono le frequenze relative $f_{i,j}$ calcolando

$f_{i,j}=\left({\frac {n_{i,j}}{n}}\right)$

Y X	$y_{1}$	$y_{2}$	$\dots$	$y_{j}$	$\dots$	$y_{k}$	Totale
$x_{1}$	$f_{1,1}$	$f_{1,2}$	$\dots$	$f_{1,j}$	$\dots$	$f_{1,k}$	$f_{1,\cdot }$
$x_{2}$	$f_{2,1}$	$f_{2,2}$	$\dots$	$f_{2,j}$	$\dots$	$f_{2,k}$	$f_{2,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_{i}$	$f_{i,1}$	$f_{i,2}$	$\dots$	$f_{i,j}$	$\dots$	$f_{i,k}$	$f_{i,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$
$x_{h}$	$f_{h,1}$	$f_{h,2}$	$\dots$	$f_{h,j}$	$\dots$	$f_{h,k}$	$f_{h,\cdot }$
Totale	$f_{\cdot ,1}$	$f_{\cdot ,2}$	$\dots$	$f_{\cdot ,j}$	$\dots$	$f_{\cdot ,k}$	$1$