Tableau de contingence

Tableau de contingence

Type	Tableau
Inventeur	Karl Pearson

Un tableau de contingence est un tableau à double entrée représentant la distribution d’une population statistique selon deux variables ou caractères avec un petit nombre de modalités. Chaque cellule du tableau contient alors l’effectif ou la fréquence des individus qui satisfont à la fois la modalité en ligne et en colonne. Le tableau est souvent muni d’une ligne et d’une colonne supplémentaire qui précisent les effectifs totaux par colonne et par ligne.

Cet outil simple répond à un problème crucial en statistique : la détection d’éventuelles relations de dépendance (pas nécessairement causale) entre les caractères mesurés sur les individus d'une population. Cette détection se fait à l’aide de la table d'indépendance associée, qui permet de calculer la mesure du khi-2 de la distribution (connaissant l’effectif total) afin de réaliser le test du khi-2. L’existence de dépendances conditionnelles suggère en effet la possibilité de stocker les résultats d'un sondage de façon plus condensée.

La notion de tableau croisé dynamique, proposée par les tableurs, est une généralisation du tableau de contingence classique.

L'expression tableau de contingence a été introduite par le statisticien britannique Karl Pearson dans un essai intitulé On the Theory of Contingency and Its Relation to Association and Normal Correlation, en 1904.

Exemple

On pratique des études sur plusieurs caractères, en essayant alors de déterminer s'il existe une quelconque liaison entre eux. Pour cela on étudie les individus recensant plusieurs caractères à la fois.

Par exemple, l’âge et le nombre de fois où l’on tombe malade sont-ils liés ?

Âge / Malade	0 fois	1 fois	2 fois	3 fois	4 fois
20 ≤ âge < 30 ans	4 individus	2 individus	2 individus	1 individu	1 individu
30 ≤ âge < 40 ans	4	3	3	1	1
40 ≤ âge < 50 ans	7	2	1	0	0
50 ≤ âge < 60 ans	3	2	1	1	1
âge ≥ 60 ans	0	0	0	1	1

Application aux probabilités conditionnelles

Le tableau de contingence amène naturellement à la notion de probabilité conditionnelle dans le cas discret.

Avec un tableau de p lignes et q colonnes, si l'on note n_ij l'effectif à l'intersection de la i-ème ligne (avec p lignes) et de la j-ème colonne, le nombre total d'individus triés par le tableau est : $n=\sum _{i=1}^{p}\sum _{j=1}^{q}n_{ij}$

De même, on peut calculer les totaux par ligne $n_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{q}n_{ij}$ et par colonne : $n_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{p}n_{ij}$

L'effectif partiel n_ij représente un pourcentage f_ij de l'effectif total :

$f_{ij}={\frac {n_{ij}}{n}}$

On peut regarder ce pourcentage comme une probabilité (puisque $\sum _{i=1}^{p}\sum _{j=1}^{q}f_{ij}=1$) : c'est la probabilité conjointe qu'un individu de la population étudiée remplisse simultanément le critère associé à la ligne i (L_i) et à la colonne j (C_j).

$f_{ij}=\mathbb {P} (L_{i}\,\mathrm {et} \,C_{j})$

La valeur ${\frac {n_{i\cdot }}{n}}$ est la probabilité qu'un individu réponde à la condition L_i. La valeur ${\frac {n_{ij}}{n_{\cdot j}}}$ est une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité qu'un individu réponde à la condition L_i sachant qu'il respecte la condition C_j.

${\frac {n_{ij}}{n_{\cdot j}}}=\mathbb {P} (L_{i}|C_{j})$

et de même :

${\frac {n_{ij}}{n_{i\cdot }}}=\mathbb {P} (C_{j}|L_{i})$

On a donc :

$\mathbb {P} (L_{i}|C_{j})={\frac {n_{ij}}{n_{\cdot j}}}={\frac {{\frac {n_{ij}}{n_{i\cdot }}}\times {\frac {n_{i\cdot }}{n}}}{\frac {n_{\cdot j}}{n}}}={\frac {\mathbb {P} (C_{j}|L_{i})\times \mathbb {P} (L_{i})}{\mathbb {P} (C_{j})}}$

qui est la formule de Bayes.

• Exemple

Avec l'exemple précédent, n = 42 et l'on a par exemple les résultats suivants :

• P (l'individu a entre 30 et 40 ans) = 12/42 = 2/7
• P (2 arrêts maladie)= 7/42 = 1/6
• P (l'individu a entre 30 et 40 ans | 2 arrêts maladie) = 3/7
• P (2 arrêts maladie | l'individu a entre 30 et 40 ans)= 3/12 = 1/4.

L'usage ici de $\mathbb {P}$ est légèrement abusif : si le tableau énumère de façon exhaustive la population alors les quantités considérées sont effectivement des probabilités ; sinon les rapports en présence ne sont que des estimateurs de ces dernières. Si l'échantillon est représentatif, alors, par la méthode des moments, ces estimateurs sont dits « convergents et sans biais »^{[réf. nécessaire]} : chacun d'entre eux correspond a la moyenne empirique des réalisations d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli. Cette dernière converge alors vers son espérance (par la loi des grands nombres), qui est très exactement la probabilité d'intérêt.

Notes et références

Bibliographie

• Jérôme Pagès, Statistique générale pour utilisateurs, vol. 1 : Méthodologie, Pr. Univ. de Rennes, coll. « Pratique de la statistique », 2010 (réimpr. 2010, 2e éd. revue et augmentée), 264 p. (ISBN 978-2-7535-1215-3 et 2-7535-1215-9)
• Xavier Bry, Analyse factorielle des données, Paris, éd. Economica, 1995, 112 p. (ISBN 2-7178-2859-1)

Articles connexes

• Tableau (statistique)
• Tableau disjonctif complet
• Tableau croisé dynamique