Krumm, gerade und schief

Es gibt zwei mögliche Richtungen der Wissensvermehrung, die einander entgegengesetzt sind:

· erstens das Kennenlernen von Unbekanntem, also die Verwandlung von Unbekanntem in Bekanntes (wie es etwa bei einer Reise in fremde Länder vorkommt),

· zweitens aber das Erkennen von Bekanntem, also die Verwandlung von Bekanntem in Erkanntes.

Etwas kennen und etwas erkennen sind zwei verschiedene Paar Schuh, und “das Bekannte überhaupt ist darum, weil es bekannt ist, nicht erkannt”. Diesen Satz des Philosophen Hegel können Sie als Motto für die Philosophie verstehen: mit unbekannten Dingen werden wir uns nur am Rande beschäftigen; was uns in erster Linie interessieren soll, sind Dinge, die ganz und gar (und jedermann und jeder Frau) bekannt sind.1 Die Schwierigkeiten, die auftauchen, wenn man etwas ganz und gar Bekanntes zu erkennen versucht, wollen wir uns mittels einer einfachen Frage verdeutlichen. Die Frage heißt: Was ist ‘krumm’?

Mit dem Wort ‘krumm’ wird oft eine Wertung ausgedrückt (’krumm’=schlecht), und es kann auch metaphorisch verwendet werden (’krumme Touren’). Solche Nebenbedeutungen sind aber von der eigentlichen Bedeutung des Wortes ‘krumm’ abtrennbar. Nehmen wir zum Beispiel die Banane. Wir wollen nicht fragen, warum sie krumm ist, aber wir wissen, dass sie, wenn sie nicht krumm wäre, anders aussähe, als sie aussieht. In diesem Satz wird die Bestimmung ‘krumm’ in eine Beziehung zu ihrer Verneinung gesetzt, und es ist nicht mehr nur von ‘krumm’ die Rede, sondern vom Unterschied zwischen ‘krumm’ und ‘nicht krumm’.

Wenn die Banane nicht krumm wäre, wäre sie gerade, — woraus sich eine erste Definition von ’krumm’ ableiten lässt, die mit der Verneinung ihres Gegenteils operiert: Krumm ist alles, was nicht gerade ist.2 Das Gerade spielt dabei die Rolle einer Norm, und die Krummheit wird als eine Abweichung von der Norm (als Abnormität) verstanden. Der Unterschied zwischen der Norm und der Abweichung kommt sprachlich daran zum Ausdruck, dass das Wort ‘gerade’ nicht gesteigert werden darf (wenigstens nicht auf eine grammatisch zulässige Weise) — es ist entweder gerade oder nicht gerade — , während alles, was krumm ist, mehr oder weniger krumm ist, das Wort ‘krumm’ also zulässigerweise gesteigert werden kann.

Mit dieser negativen Definition von ‘krumm’ (=alles, was nicht gerade ist) kann man natürlich nur etwas anfangen, wenn man die positive Bestimmung kennt, die in ihr enthalten ist, wenn man also weiß, was gerade ist. Dabei zeigt sich wieder, dass das Bekannte trotz seiner Bekanntheit sehr schwer zu erkennen ist (die Geometrie beißt sich an der Geradheit bis heute die Zähne aus). Wir helfen uns mit der ältesten Definition, die für das Wort ‘gerade’ bekannt ist. Sie stammt von Platon und heißt: ‘Gerade’ ist dasjenige, ‘bei dem sich das Mittlere mit den beiden Enden deckt’ (also: man stelle sich zu einer Linie so, dass der eine Endpunkt den anderen genau verdeckt; wenn dann zugleich alle Punkte verdeckt sind, die zwischen den beiden Endpunkten liegen, — so dass man überhaupt nur einen einzigen Punkt sieht — dann ist die Linie gerade).

Nun fragt sich, ob es solche geraden Linien (etwa als Kanten von starren Körpern) in der Realität überhaupt gibt. Wenigstens liegt die Vermutung nahe, dass, wenn man es nur hinreichend genau nimmt, alles in der Welt krumm ist und das Gerade nur als ein Gedanke vorkommt, nämlich als ein Ideal, dem sich reale Gegenstände immer nur annähern können, ohne es jemals ganz zu erreichen. — Damit ist uns zum ersten Mal der Gedanke der unendlichen Annäherung begegnet (nehmen Sie ihn freundlich auf — wir werden ihn so schnell nicht wieder los).

An dem Begriff der unendlichen Annäherung klebt unzertrennlich ein anderer, nämlich der, dass es einen Grad von Annäherung an das Ideal gibt, der praktisch ausreicht (so dass uns das Ideal selbst gar nicht weiter interessieren müsste). Im Fall von geometrischen Messgeräten (Lineal) kann man zum Beispiel sagen: sie sind uns gerade genug, und wir verwenden sie so, als wenn wir mit ihnen die Ideale in der Hand hielten (Lineal als Ideal). Streng genommen ist das natürlich nicht wahr. Sobald man das Lineal unters Mikroskop legt, sieht man, dass es mit seiner Geradheit nicht weit her ist. Vor allem aber: es lassen sich ohne weiteres Anwendungsfälle denken (z.B. bei der industriellen Fertigung elektronischer Bauteile), für die die Messgeräte aus dem Mathematikunterricht nicht ‘gerade genug’ sind. Sollen wir jetzt doch sagen, dass die einen ‘gerader’ sind als die anderen ? — Man sieht leicht, dass ‘gerade genug’ nur ein anderer Ausdruck für ‘krumm’ ist, nämlich dafür, dass die Abweichung von der Norm (vom Geraden) so gering ist, dass sie uns bei der Verfolgung unseres praktischen Zwecks nicht mehr stört (und was da jeweils genügt oder nicht genügt, hängt von diesem jeweiligen Zweck ab). Wir werden also die verschiedenen Fälle von ‘gerade genug’ nicht als Fälle von ‘mehr oder weniger gerade’, sondern als Fälle von ‘mehr oder weniger krumm’ unterscheiden müssen.

Wenn es aber im strengen Sinn gar nichts Gerades gibt, fragt sich, wovon das Krumme eigentlich abweicht. Oben war von der Krummheit als einer Abnormität die Rede. Sollte man nicht eher umgekehrt das Krumme als das Normale bezeichnen, wogegen das Gerade noch nicht einmal die Würde einer Abweichung hätte, sondern nichts wäre als ein Hirngespinst? — Jetzt ist der erste schwierige Schritt in dieser Gedankenentwicklung fällig; verwenden Sie möglichst viel Aufmerksamkeit darauf ihn nachzuvollziehen (Sie befinden sich dabei mitten im inneren Heiligtum der abendländischen Geistesgeschichte). Der schwierige Gedanke heißt: Wenn wir ein Lineal A von einem anderen Lineal B als ‘besseres Lineal’, nämlich als weniger krumm (oder mit dem verbotenen Ausdruck: als ‘gerader’) unterscheiden, fassen wir A und B nicht nur als ‘irgendwie verschieden krumm’ auf, sondern es soll ein realer Unterschied sein, ob A krummer ist als B oder aber umgekehrt B krummer ist als A! Diesen Unterschied könnten wir aber gar nicht festhalten, wenn es die Norm ‘gerade’ nicht gäbe, die uns überhaupt erst erlaubt, Annäherungen (an die Norm) von Entfernungen (von der Norm) zu unterscheiden. Die Norm ist also gerade so real wie dieser Unterschied. In anderen Worten: Die Realität des Geraden ist die Realität des Unterschieds zwischen dem Krummeren und dem weniger Krummen. (Ich setze das Verständnis dieses Gedankens im folgenden nicht voraus; machen Sie sich also keine Sorgen, wenn Ihnen die Sache nicht klar geworden ist3.

Diese theoretischen Kompliziertheiten haben eine ganz einfache und handgreifliche praktische Form: Wie unterscheiden wir denn praktisch (d.h. hier technisch) krummere Gegenstände von weniger krummen? Nun, wir legen ein Lineal an, das einen für unseren Zweck ausreichend geringen Grad von Krummheit hat. Und wenn wir zwei Lineale auf ihre Geradheit hin vergleichen wollen? Man sieht, dass man hier schnell in eine Sackgasse gerät; spätestens, wenn wir drei Lineale vor uns haben, müsste man schon vorher wissen, welches von ihnen das am wenigsten krumme ist; man kann es nicht erst durch einen Vergleich der drei Lineale miteinander herausfinden. Was tun? Die Lösung ist einfach: Wir brauchen nicht einen Gegenstand, der der idealen Geraden möglichst nahe kommt, sondern ein Verfahren, das uns erlaubt, beliebige Abweichungen von der Geraden zu vermindern. Solche Verfahren sind in den Linealen schon versteckt enthalten. Es handelt sich dabei ja um künstliche, d.h. von Menschen hergestellte Produkte. Überhaupt versorgt uns die industrielle Produktion mit lauter geraden Kanten (Kanten, die wenigstens für die meisten Zwecke ‘gerade genug’ sind) und lässt auf diese Weise in Vergessenheit geraten, dass solche Kanten voraussetzen, dass die Menschen über Verfahren zur Begradigung krummer Gegenstände verfügen.

Hier berührt sich unser Problem mit der wirklichen Geschichte der Geometrie, denn solche Verfahren zur Begradigung mussten von den Menschen erst entwickelt werden. Versetzen wir uns also in vor-industrielle Zeiten und fragen, wie der Mensch zur geraden Linie gekommen ist. Man kann es sich denken: Er hat ein Seil gespannt. Das gespannte Seil ist das historisch erste geometrische Instrument, das prähistorische Lineal, wenn Sie so wollen, und es verdankt seine Tauglichkeit wohlgemerkt nicht der Tatsache, dass es als gerader Gegenstand gefunden wurde — im Gegenteil -, sondern dem Umstand, dass das Geradeziehen eines Seils ein Verfahren ist, in dem die Krummheit eines krummen Gegenstandes eindeutig vermindert werden kann (mit dem also verschiedene ‘Krummheitsgrade’ eindeutig geordnet werden können.

Das gespannte Seil hat die Menschen auch gleich mit dem zweiten geometrischen Instrument versorgt, nämlich mit dem Zirkel. Wenn man das (gespannte!) Seil an einem Ende befestigt und mit dem anderen Ende zu laufen anfängt, entsteht ein Kreis, dessen Radius (halber Durchmesser) die Länge des Seiles ist. — Diese beiden Instrumente, das Lineal und der Zirkel, sind zugleich die einzigen Instrumente, die die Geometrie (bis auf den heutigen Tag) notwendig braucht (auf alle anderen kann sie notfalls verzichten); sie nennt eine Figur ‘konstruierbar’, wenn sie mit nichts als mit Zirkel und Lineal — also: bloß mit einem gespannten Seil — gezeichnet werden kann.

Zwecks Verdeutlichung des Resultats, das sich uns bis jetzt ergeben hat, wollen wir die Ausgangsfrage noch einmal erweitern. Unsere Frage zielte zunächst auf die Bestimmung ‘krumm’, und der Versuch ihrer Beantwortung hat uns zur Bestimmung von ‘gerade’ geführt. Aber was heißt eigentlich ‘schief’? — Zwei Beobachtungen lassen sich hier zusammenführen. Erstens: was schief ist, muss nicht krumm sein (ein ‘gerader’ Stock kann schief in der Erde stecken). Und zweitens: was nicht schief ist, ist — gerade. Es ergibt sich also die merkwürdige Konsequenz, dass von einem Gegenteil von ‘gerade’ die Rede ist — nämlich ‘schief’ — , das aber gleichzeitig ‘gerade’ sein kann — nämlich ‘nicht krumm’. Die Auflösung dieser Merkwürdigkeit liegt natürlich darin, dass das Wort ‘gerade’, wenn es als Gegenteil von ‘schief’ verwendet wird, in einem ganz anderen Sinn genommen wird als vorher, wo es uns nur als Gegenteil von ‘krumm’ begegnet ist. Worin besteht also der zweite Sinn von ‘gerade’?

Wie Sie sofort richtig gesehen haben, zielt der Ausdruck ‘schief’ — im Unterschied zu ‘krumm’ —auf ein Verhältnis zwischen zwei Gegenständen. Ein Ding kann in sich krumm sein, aber schief ist es erst im Verhältnis zu etwas anderem — einem Fußboden, einer Wand, einem Rahmen usw. Und wir rücken das Schiefe gerade, indem wir es in ein rechtwinkliges Verhältnis zu diesem anderen Gegenstand setzen. ‘Gerade’ als Gegenteil von ‘schief’ heißt also ‘rechtwinklig’ (orthogonal).

Für den rechten Winkel wiederholen sich nun alle Probleme, die für den Fall der Geraden schon diskutiert worden sind. Die Dinge werden jetzt zwar komplizierter, aber dadurch zugleich deutlicher. Wir wollen die Fragen, die mit der Norm, der Abweichung und der unendlichen Annäherung verbunden sind, als inzwischen erkannt (!) überschlagen und die Sache sofort an dem Knotenpunkt wieder aufgreifen, an dem sich diese Schwierigkeiten lösen sollten: beim Konstruktionsverfahren.

Es ist ja klar, dass die Architektur der frühen Hochkulturen (Beispiel: Pyramidenbau) bereits einen virtuosen Umgang mit dem rechten Winkel voraussetzt. Malereien in der prähistorischen Höhle von Lascaux (ca. 17 000 Jahre alt) bezeugen darüber hinaus, dass die Kenntnis dieser geometrischen Form weit in die Steinzeit zurückreicht. Stellen wir uns also im Geiste vor die Aufgabe, vor der der Mensch der Steinzeit stand, wenn er einen rechten Winkel in den Sand zeichnen wollte. Alles, was ihm als Hilfsmittel zur Verfügung steht, ist eine geflochtene Schnur, die sich — gottseidank — gerade ziehen lässt.

Sie können die Bedeutung des rechten Winkels in der menschlichen Geschichte daran ablesen, dass die ältesten bekannten mathematischen Gesetze nichts anderes sind als Lösungen dieser praktischen Aufgabe, nämlich Vorschriften für die Konstruktion eines rechten Winkels mit Zirkel und Lineal. Es handelt sich dabei um den ‘Satz des Thales’ und den ‘Satz des Pythagoras’.