Symmetrien als Schöpfungsindiz?

Dieser Artikel, ist auch in der Zeitschrift “Studium Integrale Journal“ (Jahrgang 32 Heft 2) der Studiengemeinschaft Wort und Wissen erschienen.

Symmetrien begegnen uns an vielen Orten in der Natur: Die Flügel von Schmetterlingen, Eiskristalle und auch das menschliche Gesicht können näherungsweise als symmetrisch angesehen werden. Für das menschliche Empfinden werden Symmetrien meist als etwas Schönes wahrgenommen und sind von großer Bedeutung in Kunst und Architektur. In der Physik lässt sich der Begriff der Symmetrie weiter verallgemeinern und ein interessanter Zusammenhang herstellen. So sind beispielsweise die physikalischen Gesetze symmetrisch in Bezug auf zeitliche Verschiebungen.

Wenn von Symmetrie die Rede ist, spricht man meist von einer Spiegelsymmetrie (s. Abb. 1). Es gibt jedoch auch weitere Möglichkeiten von Symmetrien. Beispielsweise kann ein Objekt auch symmetrisch bezüglich einer Rotation um einen bestimmten Winkel sein. In vielen Fällen dienen diese Symmetrien einem bestimmten Zweck. Beispielsweise sehen Doppelschleichen (Abb. 2) von vorne genauso aus wie von hinten und sind somit rotationssymmetrisch unter Drehungen um 180°. Wenn sie angegriffen werden, heben sie ihren Schwanz, um den Angreifer in Bezug auf die tatsächliche Lage ihres Kopfes zu täuschen.

Im Falle der Spiegelsymmetrie um eine bestimmte Achse bedeutet Symmetrie Folgendes: Überträgt man alles, was sich auf einer Seite der Achse befindet, auf die andere Seite, so sieht es genauso aus wie das Original. Ein rotationssymmetrischer Körper sieht nach einer Drehung um einen bestimmten Winkel immer noch genauso aus wie zuvor. Das ist bei vielen Blüten der Fall. Allgemein lässt sich eine Symmetrie laut dem Physiker Hermann Weyl folgendermaßen definieren: Etwas gilt als symmetrisch, wenn man daran etwas tun kann, sodass es nach dieser Aktion genauso aussieht wie zuvor1. Mit dieser Definition lassen sich auch jenseits der Geometrie Symmetrien finden. So kann man in mathematischen Gleichungen Symmetrien auffinden. Insbesondere in der mathematischen Beschreibung der physikalischen Gesetze können solche Symmetrien entdeckt werden.

Die Bewegungsgleichungen der Physik sind invariant (d. h. ändern sich nicht) bezüglich der Transformation bestimmter Variablen. Beispielsweise ändern sich die Bewegungsgleichungen nicht, wenn man die Zeit transformiert, d. h. unabhängig davon, zu welchem Zeitpunkt ein Wurf vorgenommen wird, ändert sich die Wurfbahn nicht. Die physikalischen Gesetze sind somit invariant oder symmetrisch in Bezug auf Zeittranslationen (zeitliche Verschiebungen).

Die physikalischen Gesetze sind invariant oder symmetrisch in Bezug auf zeitliche Verschiebungen.

Bezüglich welcher Transformationen die mathematischen Gleichungen invariant sind, lässt sich analytisch herleiten. Dabei nutzt man das Prinzip der geringsten Wirkung, welches besagt, dass ein System stets danach strebt, die für den Prozess erforderliche Energie zu minimieren. Veranschaulichen lässt sich das an den Bahnen des Lichts. Licht bewegt sich in jedem Medium mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fort, abhängig davon, wie stark es gebrochen wird. Wenn Licht auf einer Strecke zwischen zwei Punkten mehrere Medien passieren muss (z. B. Wasser und Luft), ergibt sich die Bahn nicht aus der kürzesten Strecke, sondern aus der Bahn mit der Summe aus den geringsten Zeiten, die zum Passieren notwendig sind. Das ist dann also die Bahn, in der das Licht am schnellsten am Ziel ankommt. Diese Situation ist vergleichbar mit einem Bademeister, der, um einen Ertrinkenden im See möglichst schnell zu retten, eine längere Strecke am Ufer in Kauf nimmt, weil er an Land schneller vorankommt. Berechnet man die Bahnen des Lichts und minimiert die aufzuwendende Zeit, erhält man daraus das Snellius’sche Brechungsgesetz. Dieses Prinzip der kürzesten Zeiten der Bahnen des Lichts – oder allgemeiner: der Minimierung der aufzuwendenden Energie – kann mathematisch formuliert werden. Dabei wird die Wirkung berechnet, welche dann variiert werden muss, um das Minimum zu bestimmen. Das Resultat sind die sogenannten Euler-Lagrange-Gleichungen. Aus diesen erhält man die Lagrange-Funktion, welche von großer Bedeutung in der Physik ist. Sie erlaubt es, eindeutig festzustellen, ob eine Symmetrie unter der Transformation einer bestimmten Variablen vorliegt: Ändert sich bei Transformation der Variablen die Lagrange-Funktion nur um eine Zeitableitung, wird sie auf die Bewegungsgleichungen keinen Einfluss haben und verhält sich damit symmetrisch2. Die Bedeutung von Symmetrien in der Physik wird deutlich, wenn man sie mit Erhaltungsgrößen in Verbindung bringt. Erhaltungsgrößen ändern sich nicht und werden höchstens in unterschiedliche Formen umgewandelt bzw. auf andere Körper übertragen. Ein Beispiel hierfür ist die Energieerhaltung. Bei einem schwingenden Pendel bleibt die Energie während der gesamten Schwingung erhalten und pendelt lediglich zwischen kinetischer und potenzieller Energie hin und her. Unter kinetischer Energie versteht man die Energie, die in der Bewegung des Körpers steckt. Potenzielle Energie ist die Lageenergie, also die Energie, die aufgrund der ausgelenkten Lage des Pendels durch die Gravitationskraft in Bewegungsenergie umgewandelt werden kann. Das Noether-Theorem stellt einen interessanten Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen her.

Emmy Noether (s. Abb. 3) war eine Mathematikerin, die auch Beiträge zur theoretischen Physik leistete: Ihre größte Errungenschaft auf dem Gebiet der theoretischen Physik ist das nach ihr benannte Noether-Theorem. Es besagt, dass jede Symmetrie eine Erhaltungsgröße zur Folge hat. Mit Symmetrie ist hier eine Symmetrie im zuvor hergeleiteten Sinne in der Physik gemeint. Lassen sich in dem untersuchten physikalischen System solche Symmetrien finden, folgt daraus, dass es eine Größe gibt, die in dem System erhalten ist.

Folgende Erhaltungsgrößen liegen dem Theorem zufolge den üblichen Symmetrien zugrunde:

1. Aus der Homogenität der Zeit – das meint die Tatsache, dass wie zuvor beschrieben der Ausgang eines physikalischen Vorgangs nicht von dem Zeitpunkt, zu dem es durchgeführt wird, abhängt – folgt die Energieerhaltung.

2. Aus der Homogenität des Raums – d.h. der Tatsache, dass der Ausgang eines physikalischen Vorgangs nicht davon abhängt, an welchem Ort im Raum er vonstattengeht – folgt die Impulserhaltung

3. Aus der Isotropie des Raumes – d. h. der Tatsache, dass der Ausgang eines physikalischen Vorgangs nicht davon abhängt, welche Ausrichtung das System im Raum hat, – folgt die Drehimpulserhaltung.

Die hier aufgezeigten Symmetrien beziehen sich auf Raum und Zeit. Es kann sich bei Symmetrien, die auf physikalische Erhaltungsgrößen hindeuten, auch um rein mathematische Symmetrien handeln, die sich nicht konkret auf Raum und Zeit beziehen (s. Anhang).

Rein mathematische Symmetrien, die naturwissenschaftliche Erhaltungsgrößen implizieren, werfen eine Frage auf, die sich schon Eugene Wigner stellte: Warum ist die Mathematik in den Wissenschaften so effektiv in der Beschreibung der beobachtbaren Natur?

Warum ist die Mathematik in den Wissenschaften so effektiv in der Beschreibung der beobachtbaren Natur?

Erstaunlich daran ist nicht nur die Tatsache, dass es mit der Mathematik eine effektive Beschreibung der Natur gibt, sondern insbesondere, dass der menschliche Verstand auch mit der Fähigkeit versehen ist diese zu erfassen. In seiner Ausarbeitung3 dazu schreibt Wigner, dass dies aus darwinistischer bzw. naturalistischer Sicht überraschend ist: „Sicherlich ist es kaum zu glauben, dass unser Denkvermögen durch Darwins Prozess der natürlichen Auslese zu der Perfektion gebracht wurde, die es zu besitzen scheint.” Betrachtet man die Mathematik wie Galileo als die Sprache der Naturwissenschaften, so ist es in der Tat bemerkenswert, dass der Mensch in der Lage ist, diese Sprache zu sprechen. Bei alltäglich erlebten physikalischen Effekten lässt sich dies aus evolutionstheoretischer Sicht womöglich noch spekulativ durch Anpassungen aufgrund von Selektionszwängen erklären. Wie es aber dazu kommen kann, dass durch den Menschen nicht direkt erfassbare Vorkommnisse wie die der Quantenmechanik mit derselben mathematischen Sprache akkurat beschrieben werden können, erklärt sich dadurch nicht. Wigner schreibt: „Dies zeigt, dass die mathematische Sprache mehr zu loben hat, als nur die einzige Sprache zu sein, die wir sprechen können; es zeigt, dass es im wahrsten Sinne des Wortes die richtige Sprache ist.“ Aus schöpfungsgläubiger Sicht ist diese Verständlichkeit der Mathematik nicht seltsam, sondern sogar zu erwarten. Im Johannesevangelium (Joh 1,1ff) wird Gott als das Wort bzw. im Griechischen der logos vorgestellt. Dies ist dasselbe Wort, aus dem unser Wort Logik stammt. Des Weiteren heißt es, dass alles durch diesen logos geschaffen wurde. Im Schöpfungsbericht wird außerdem geschildert, dass der Mensch im Bild bzw. Ebenbild Gottes geschaffen ist (1. Mose 1,26; vgl. 9,6). Es ist nicht verwunderlich, dass der Mensch, der im Ebenbild desselben logos bzw. derselben Logik geschaffen ist, die auch die Welt erschaffen hat, mit der Fähigkeit versehen ist, die Sprache dieser Logik zu sprechen und zu verstehen. Die von Wigner bewunderte Effektivität der Mathematik in den Wissenschaften, die hier beispielhaft am Noether-Theorem dargestellt wurde, lässt sich daher als Schöpfungsindiz deuten.

Ein Beispiel dafür sind Phasentransformationen in der Quantenmechanik, welche mittels einer Wellenfunktion beschrieben werden. Diese sind in der Regel komplex (d.h. eine komplexe Zahl). Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen (reelle Zahlen findet man auf dem Zahlenstrahl; dies ist die Menge aller ganzen Zahlen, Zahlen die aus Brüchen gewonnen werden, sowie transzendenten Zahlen wie z. B. die Kreiszahl π). Die Erweiterung hin zu den komplexen Zahlen erfolgt, indem der Formel x² + 1 = 0 die Lösung i zugeordnet wird, mit der sogenannten imaginären Einheit i. Eine komplexe Zahl besteht dann aus einem Realteil (eine Zahl aus der Menge der bekannten reellen Zahlen) und einem Imaginärteil (bestehend aus einer beliebigen reellen Zahl versehen mit der imaginären Einheit):

z = a + bi

Betrachtet man Realteil und Imaginärteil als Koordinaten, kann eine komplexe Zahl als ein Punkt in einer zweidimensionalen Ebene (der komplexen Ebene) betrachtet werden (s. Abb. 4). Ein solcher Punkt kann auch durch einen Winkel und einen Radius beschrieben werden (vom Nullpunkt 0|0 aus). Bei den komplexen Zahlen ist der Radius das Betragsquadrat der komplexen Zahl und der Winkel wird als Phase bezeichnet. Beides sind reelle Zahlen.

Mathematisch wird die Quantenmechanik durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich aus der Schrödinger-Gleichung berechnen lassen. Diese kann Werte im Bereich der komplexen Zahlen annehmen. Dabei wird das Betragsquadrat einer solchen komplexen Zahl als eine Wahrscheinlichkeit gedeutet. Wie sich leicht erkennen lässt, gibt es mehrere komplexe Zahlen, die das gleiche Betragsquadrat haben. Dies erhält man, indem man die Phase der komplexen Zahl variiert. Alle Zahlen, die auf dem dabei entstehenden Kreis liegen, haben denselben Radius, d. h. dasselbe Betragsquadrat. Da nur diese Größe für die Berechnungen der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten von Bedeutung sind, ändert sich das Ergebnis nicht unter einer Transformation der Phase. Die Quantenmechanik ist symmetrisch bezüglich dieser Phasentransformationen. Aus dieser rein mathematischen Symmetrie folgt, dass die Wahrscheinlichkeiten der Wellenfunktion erhalten sein müssen.

Die Quantenmechanik ist symmetrisch bezüglich dieser Phasentransformationen.

In der Quantenfeldtheorie wird dies noch weiter ausgeführt, und die Symmetrien ergeben sich dort aus solchen Drehungen um eine komplexe Phase (zum Teil in höheren Dimensionen). Aus diesen Symmetrien erhält man die Ladungserhaltung der physikalischen Wechselwirkungen, wie z. B. der elektromagnetischen Kraft.

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