Elmar Klausmeier's Blog on Computers, Programming, and Mathematics
1. Google Search is the most prominent search engine. There have been multiple and repeating complaints about Google Search getting worse. For example, The End of Google Search—and the Internet—as We Know It Google isn’t the best search engine anymore Google Search May Be Deindexing URLs At Higher Rates We have to separate two things. Appearance: over the years they have added sponsored links,…
I explored the possibility of employing Content Security Policy for this very blog. I succeeded in enforcing a couple of URL whitelists. But that showed that whenever the referring websites change anything on their end, I am cooked. Below is an NGINX configuration to allow for JavaScript libraries like MathJax DataTables TikTok WordPress CodePen Ahrefs Analystics X/Twitter add_header…
This post shows how to call the GUPTRI algorithm from C. The GUPTRI algorithm solves the generalized eigenvalue problem $A x = \lambda B x$. The algorithm can properly handle the cases when $A$, $B$, or both matrices are singular. Bibliography. Demmel, James and Kagstrom, Bo: “ The Generalized Schur Decomposition of an Arbitrary Pencil $A – \lambda B$: Robust Software with Error Bounds and…
Here we analyze the two methods from Eldon Hansen (1969) . These are two cyclic linear multistep methods of order $p=5$ and $p=7$. The first one only needs 3 starting values for order 5. The second one only need 4 starting values and reaches order 7. Both methods break the first Dahlquist barrier. They can do that because the Dahlquist barrier only holds for "simple" multistep methods, not for…
Brittney Lowe Hartley discusses why she is an atheist . TLDR: Men created God for their specific purposes. God didn't create men. The TikTok video was converted to text using tokscript . Then Google Gemini added headings, emphasis, punctuation by asking: Add punctuation to below text: ... The TikTok video in question is below. After that the converted transcript is given. @nononsensespirituality…
Here we analyze the three methods from Christoph Fredebeul, which were mentioned in Albrecht (1989) . These are three cyclic linear multistep methods of order $p=3$ and $p=4$. They should not to be confused with the A-BDF from Fredebeul. Bibliography. Peter Albrecht: “ Elements of a General Theory of Composite Integration Methods ”, Applied Mathematics and Computation, Vol. 31, May 1989, pp. 1–17…
1. Problem statement There are some bots which request lots of pages of my web-server, which do not exist. This post shows how these bots are blocked on the network level with iptables . Here is an example of excessive HTTP 404 errors: 34.165.43.146|04/Jun/2026:12:43:33 +0200|404|14589|GET /backup.zip HTTP/2.0|-|Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 Chrome/124.0…
The classical Runge-Kutta method of order 4 with 4 stages. $$ \begin{array}{c|cccc} {1\over2} & {1\over2}\\ {1\over2} & 0 & {1\over2}\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline & {1\over6} & {1\over3} & {1\over3} & {1\over6} \end{array} $$ Runge-Kutta formulas can be formulated as multistep methods: $$ \begin{aligned} Y_1 &= y_{n-1}, \\[6pt] Y_2 &= y_{n-1} + \frac{h}{2} f(Y_1), \\[6pt] Y_3 &= y_{n-1} + \frac{h}{2}…
1. Backward differentiation formulas. The BDF are as follows. Name Formula BDF1 $y_{n+1} - y_n = h f_{n+1}$ BDF2 $3 y_{n+2} - 4 y_{n+1} + y_n = 2 h f_{n+2}$ BDF3 $11 y_{n+3} - 18 y_{n+2} + 9 y_{n+1} - 2 y_n = 6 h f_{n+3}$ BDF4 $25 y_{n+4} - 48 y_{n+3} + 36 y_{n+2} - 16 y_{n+1} + 3 y_n = 12 h f_{n+4}$ BDF5 $137 y_{n+5} - 300 y_{n+4} + 300 y_{n+3} - 200 y_{n+2} + 75 y_{n+1} -12 y_n = 60 h f_{n+5}$…
1. Optimization Some texts from Elad Hazan . Introduction to Online Convex Optimization Lecture Notes: Optimization for Machine Learning Introduction to Online Control Second order methods by James Martens et al. Deep learning via Hessian-free optimization On the importance of initialization and momentum in deep learning Some texts by Florian Schäfer . ZerO Initialization: Initializing Neural…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick Inhalt. 1. Erweiterungen des Programmes TENDLER 2.…
1. Problem statement: You access a Windows machine, while running on Linux using Citrix . You can no longer type characters like ~ , | , [ , ] . These are characters where you must press the key Alt Gr on a German keyboard. 2. Solution. The following configuration added to ~/.ICAClient/wfclient.ini solves the issue: KeyboardType = 0 KeyboardEventMode = Scancode KeyboardSyncMode = No In Windows I…
Schalten in Programmen. TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten Das Schalten im Programm LSODA Das Schalten im Programm DEASY Das Schalten im Programm RKF4RW Das Schalten im Programm NTI/SIMPLE Das Schalten im Programm PAI4 1. Kurzbeschreibung des Programmes PAI4 2. Bewertung und Vergleich des Programmes PAI4 3. Bibliographie Das Programm PAI4, welches man beschrieben findet in dem Aufsatz von…
Schalten in Programmen. TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten Das Schalten im Programm LSODA Das Schalten im Programm DEASY Das Schalten im Programm RKF4RW Das Schalten im Programm NTI/SIMPLE Das Schalten im Programm PAI4 Inhalt. 1. Die Schaltentscheidung im Programm NTI/SIMPLE 2. Bewertung des Programmes NTI/SIMPLE 3. Bibliographie Denn der Mensch denkt nicht gern logisch, dazu ist er nicht…
Schalten in Programmen. TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten Das Schalten im Programm LSODA Das Schalten im Programm DEASY Das Schalten im Programm RKF4RW Das Schalten im Programm NTI/SIMPLE Das Schalten im Programm PAI4 1. Kurzbeschreibung des Programmes RKF4RW 2. Bewertung des Programmes RKF4RW 3. Bibliographie Das Programm RKF4RW, siehe Rentrop (1985) , ist hier nun eines der Programme,…
Schalten in Programmen. TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten Das Schalten im Programm LSODA Das Schalten im Programm DEASY Das Schalten im Programm RKF4RW Das Schalten im Programm NTI/SIMPLE Das Schalten im Programm PAI4 1. Kurzbeschreibung des Programmes DEASY 2. Die nichtlineare von Misessche Iteration 3. Bewertung und Vergleich des Programmes DEASY 4. Literatur Das Programm DEASY, siehe…
Schalten in Programmen. TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten Das Schalten im Programm LSODA Das Schalten im Programm DEASY Das Schalten im Programm RKF4RW Das Schalten im Programm NTI/SIMPLE Das Schalten im Programm PAI4 1. Kurzbeschreibung des Programmes LSODA 2. LSODAR und Programmtransparenz 3. Bewertung und Vergleich des Programmes LSODA 4. LSODA im Vergleich mit anderen Lösern aus…
1. Die steifen Gleichungen aus STDTST 2. Die nicht-steifen Gleichungen aus NSDTST 3. Weitere Testgleichungen 4. Literatur The fragments of theory available for stiff problems give a great deal of attention to model problems. L.F. Shampine (1980) Es [das Buch] zeigt auch, wie der Numeriker abstrakte Theorie, die Untersuchung spezieller Situationen und Modellprobleme, heuristische Vorgehensweise und…
This blog is a niche blog . Its topics are computer programming, mathematics, and computer hardware. Each month I have roughly one thousand real visitors reading blog posts. Posts on this blog are not dictated by any commercial requirement, they are solely governed by my current interest. It costs me money to host this blog, but it's negligible. I have a regular day-job so I am not dependent on…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick Inhalt. 1. Optionale Voreinstellungen 2. Die…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick Inhalt. 1. Prinzipien der Schrittweiten- und…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick Inhalt. 1. Abbruch- und Diskretisierungsfehler 2.…
Here we analyze the method from Majid/Suleiman/Omar . This is a block implicit method of order 4. $$ \begin{array}{r|rrr} p=4 & 1 & 2 & 3\cr \hline -1 & -24 & 0 & 0 \cr 0 & 24 & -24 & 0 \cr 1 & 0 & 24 & -24 \cr 2 & 0 & 0 & 24 \cr \hline -1 & 9 & -1 & 1 \cr 0 & 19 & 13 & -5 \cr 1 & -5 & 13 & 19 \cr 2 & 1 & -1 & 9 \cr \hline c_{5i} & -0.026 & 0.015 & -0.026\cr \end{array} $$ The error constant is $$…
1. Order 3 2. Order 4 3. Order 5 4. Order 6 5. Order 7 6. Order 8 7. Order 9 This post is a continuation of Searching for Tendler-like formulas Searching for Tendler-like formulas, #2 Here we search for further Tendler-like formulas. We extended stabregion2.c to stabregion3.c to include higher order base formulas during the search process. This essentially removes restriction R3 given in…
1. Order 3 2. Order 4 3. Order 5 4. Order 6 5. Order 7 6. Order 8 7. Order 9 In continuation of Searching for Tendler-like formulas here we search for further Tendler-like formulas. This time we particularly watch for low error constants. For reference, below are Widlund-wedge angle α and Widlund-distance δ for the original Tendler formulas and for Tischer's formulas. See Tendler-like Formulas for…
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas We analyze below method from Rubin , see his Fig. 4.2. Also see Weitere zyklische und blockimplizite lineare Mehrschritt-Verfahren . $$ \begin{array}{r|rr} p=4 && 1 & 2\cr%R4A \hline -1 && 0 & 56\cr 0 && 24 & -72\cr 1 && -24 & 0\cr 2 && 0 & 16\cr \hline -1 && 1 & -21\cr 0 && -13 &…
Abstract. This paper proves a convergence result for a general class of methods for the solution of ordinary differential equations (initial value problems). The proof uses standard results from the theory of matrix polynomials. We present new cyclic linear multistep formulas of orders 3 to 9 for stiff equations, which, order by order, outperform the cyclic composite multistep methods of Tendler…
In Searching for Tendler-like formulas we presented new Tendler-like cyclic linear multistep formulas for the solution of stiff differential equations. Assume the cyclic linear multistep methods of the form $$ \sum_{j=-k+1}^\ell \left[ \alpha_{ij} y_{m\ell+j} - h \beta_{ij} \dot y_{m\ell+j} \right] = 0, \quad i=1,\ldots,\ell. $$ When testing these formulas numerically, we are particularly…
Blog posts on this very blog are created in Markdown with MathJax, i.e., LaTeX formulas, sprinkled in. The static site generator Simplified Saaze then converts this into HTML. Obviously, I didn't want to create two documents, i.e., one for the blog, and another for the journal. Also, the journal might reject the submission. In that case I would at least retain the blog post. The solution is to use…
1. Runge's function 2. Negative logarithmic error in double precision 3. Negative logarithmic error in quadruple precision 4. Raw results 5. Scripts to generate results In Comparing BDF vs. Tendler vs. Tischer formulas we already compared BDF, Tendler's formulas and Tischer's formulas. There we used the classical Dahlquist test equation $y'=\lambda y$. We repeat the test but with another…
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler9 -o3 -r180 eTendler9: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler8 -o3 -r160 eTendler8: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler7 -o3 -r140 eTendler7: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler6 -o3 -r160 eTendler6: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler5 -o3 -r90 eTendler5: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler4 -o3 -r90 eTendler4: You can rotate the graphic around any axis.
This is in continuation of: Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas Stability Regions for Tischer's Formulas Stability Regions for eTendler Formulas Below is the output of: stabregion3 -f eTendler3 -o3 -r90 eTendler3: You can rotate the graphic around any axis.
In Searching for Tendler-like formulas we developed new cyclic linear multistep formulas for the numerical solution of ordinary differential equations. These cyclic formulas are similar to Tendler's formulas . Order by order they improve on Widlund wedge angle and Widlund distance. In Die verwendeten zyklischen Formeln im Programm TENDLER we listed the Widlund wedge α and Widlund distance δ for…
1. Einleitung 1.1 Problemstellung und gesellschaftliche Relevanz 1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit 1.3 Methodisches Vorgehen 1.4 Thematische Abgrenzungen 2. Theoretischer Rahmen und Grundannahmen 2.1 Begriff und Zielsetzung des Einsatzes von KI in der Verwaltung 2.2. Digitale Infrastrukturen und Datenräume als Grundlage 2.3 Institutionelle Einbettung und Governance von KI 3. Anwendungsbereiche…
1. Dahlquist's test equation 2. Logarithmic error in double precision 3. Logarithmic error in single precision and other machines 4. Scripts to generate results 1. Dahlquist's test equation We tested the BDF, Tendler's formulas , new Tendler-like formulas, and Tischer's formulas on the classical test equation $$ y´(t) = \lambda y(t) \in \mathbb{C}, \quad y(t_0) = e^{\lambda t_0}, \quad t\in[t_0,…
1. Baseline 2. Specific new formulas 3. Searching across grids 4. Various new formulas 5. stabregion2.c 1. Baseline The formulas from Tendler from 1973 are our baseline. Clearly, we want to improve them. So here we summarize their characteristics: p is the order l is the cycle length α is the Widlund wedge angle δ is the Widlund distance p l abs(root) α(Tendler) δ(Tendler) α(Tischer) δ(Tischer) 1…
Problem statement: Loop over a variable number of loops. I.e., we want to search a parameter space and therefore want to loop over multiple loops. The number of loops is variable. The initial approach goes like this: for (p1=1; p1<=10; ++p1) for (p2=1; p2<=10; ++p2) for (p3=1; p3<=10; ++p3) for (p4=1; p4<=10; ++p4) do_something(); It also might involve only two loops, i.e., p1 and p2 , or even…
1. Tischer's formulas All cyclic linear multistep methods were designed to only have root at 1, and all other parasitic roots to be zero. See Tischer, Peter E. and Sacks-Davis, Ron: “ A New Class of Cyclic Multistep Formulae for Stiff Systems ”. 2. Donelson & Hansen formulas See Donelson III, John and Hansen, Eldon: “ Cyclic Composite Multistep Predictor-Corrector Methods ”, SIAM Journal on…
The parasitic roots $\lambda_i$ of a multistep method are the roots, which are not 1. In below table the root 1 is indexed with 0. The roots are for the matrix polynomial $$ \rho(\lambda) = A_m \lambda^m + A_{m-1} \lambda^{m-1} + \cdots + A_1 \lambda + A_0 $$ for the multistep method $$ \sum\limits_{i=0}^{m} A_i Y_{k+i} = h \sum\limits_{i=0}^{m} B_i Y'_{k+i}. $$ Tendler's formulas can be found in…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick 1. Zusammenhang zwischen Picard und Newton Iteration…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick 1. Einbau neuer zyklischer Formeln in das Programm…
Fortsetzung der TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick 1. Definition der Differentialgleichung 2. Lösung der…
TENDLER Programmbeschreibung. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen TENDLER: 2. Benutzung des Programmes TENDLER: 3. Der Prädiktor TENDLER: 4. Die Korrektoriteration TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle TENDLER: 6. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung TENDLER: 7. Start, Statistiken und Schalten TENDLER: 8. Ausblick 1. Die Sprache C 2. Objektorientierte Programmierung 3. Evolution von…
1. Strategien und Rechnergenauigkeit 2. STINT vers. GEAR und EPISODE 3. STINT versus LSODE 4. Rationalisierte Schrittweiten und dessen Einfluß Es gibt eine Fülle von Differentialgleichungslösern, sowohl für steife, als auch für nicht-steife Gleichungen. Allerdings sind nicht alle Löser auch gleich gut für jeden Zweck geeignet. Es gibt auch Löser für Gleichungen mit speziellen Eigenschaften.…
1. Pädiktor-Korrektor-Verfahren und lineare Differenzengleichungen 2. Newton Iteration und Prädiktor-Korrektor-Verfahren 3. Gegenüberstellung von $\beta_\kappa/\alpha_\kappa$ für 3 Verfahren 4. Anzahl der Newton Iterationen und Konsistenzordnung Implizite lineare Mehrschrittverfahren benötigen zur Lösung der dabei auftretenden Gleichungssysteme ein Iterationsverfahren. Dies ist entweder die Picard…