Posteriorna verjetnost

Posteriorna verjetnost je vrsta pogojne verjetnosti, ki izhaja iz posodabljanja priorne verjetnosti s podatki, sumiranimi z verjetnostjo z uporabljanjem Bayesovega izreka.^[1] Z epistemološkega vidika vsebuje posteriorna verjetnost vse kar vemo o negotovi prepoziciji (kot so znanstvene hipoteze ali parametrske vrednosti), pri danem predhodnem znanju in matematičnem modelu, ki opisuje opazovanja, ki so na razpolago ob nekem določenem času.^[2] Po prihodu novih podatkov lahko trenutna posteriorna verjetnost služi kot prior v novem krogu Bayesovega posodabljanja.^[3]

V kontekstu Bayesove statistike posteriorna verjetnostna porazdelitev običajno opisuje epistemično negotovost o statističnih parametrih pogojno na zbirko opazovanih podatkov. Od dane posteriorne verjetnosti lahko izpeljemo različne točke in intervalne ocene, kot je maksimum a posteriori (MAP) ali najvišji posteriarni gostotni interval (HPDI).^[4] Čeprav je posteriorna porazdelitev preprosta, načeloma ni vodljiva in mora biti tako bodisi analitično, bodisi numerično približana.^[5]

Opredelitev v primeru porazdelitve

V Bayesovi statistiki je posteriorna verjetnost verjernostna porazdelitev parametrov $\theta$ pri danih dokazih $X$ in je označeno z $p(\theta |X)$ .

Je v nasprotju z verjetnostno funkcijo, ki je verjetnost dokazov pri danih parametrih: $p(X|\theta )$ .

Dve sta povezani na naslednji način:

Pri danem priornem prepričanju, da je verjetnostna porazdelitvena funkcija $p(\theta )$ in da imajo opazovanja $x$ verjetnost $p(x|\theta )$ , je posteriorna verjetnost opredeljena kot

p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )}{p(x)}}p(\theta )

,^[6]

kjer je $p(x)$ normalizacijska konstanta in je izračunana kot

p(x)=\int p(x|\theta )p(\theta )d\theta

za neprekinjeno $\theta$ , ali z sumiranjem $p(x|\theta )p(\theta )$ čez vse možne vrednosti $\theta$ za diskretno $\theta$ .^[7]

Sklici

↑ Lambert, Ben (2018). »The posterior – the goal of Bayesian inference«. A Student's Guide to Bayesian Statistics. Sage. str. 121–140. ISBN 978-1-4739-1636-4.
↑ Grossman, Jason (2005). Inferences from observations to simple statistical hypotheses (PhD thesis). University of Sydney. hdl:2123/9107.
↑ Etz, Alex (25. julij 2015). »Understanding Bayes: Updating priors via the likelihood«. The Etz-Files (v angleščini). Pridobljeno 18. avgusta 2022.
↑ Gill, Jeff (2014). »Summarizing Posterior Distributions with Intervals«. Bayesian Methods: A Social and Behavioral Sciences Approach (Third izd.). Chapman & Hall. str. 42–48. ISBN 978-1-4398-6248-3.
↑ Press, S. James (1989). »Approximations, Numerical Methods, and Computer Programs«. Bayesian Statistics : Principles, Models, and Applications. New York: John Wiley & Sons. str. 69–102. ISBN 0-471-63729-7.
↑ Christopher M. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. str. 21–24. ISBN 978-0-387-31073-2.
↑ Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, David B. Dunson, Aki Vehtari and Donald B. Rubin (2014). Bayesian Data Analysis. CRC Press. str. 7. ISBN 978-1-4398-4095-5.{{navedi knjigo}}: Vzdrževanje CS1: več imen: seznam avtorjev (povezava)

[1] Lambert, Ben (2018). »The posterior – the goal of Bayesian inference«. A Student's Guide to Bayesian Statistics. Sage. str. 121–140. ISBN 978-1-4739-1636-4.

[2] Grossman, Jason (2005). Inferences from observations to simple statistical hypotheses (PhD thesis). University of Sydney. hdl:2123/9107.

[3] Etz, Alex (25. julij 2015). »Understanding Bayes: Updating priors via the likelihood«. The Etz-Files (v angleščini). Pridobljeno 18. avgusta 2022.

[4] Gill, Jeff (2014). »Summarizing Posterior Distributions with Intervals«. Bayesian Methods: A Social and Behavioral Sciences Approach (Third izd.). Chapman & Hall. str. 42–48. ISBN 978-1-4398-6248-3.

[5] Press, S. James (1989). »Approximations, Numerical Methods, and Computer Programs«. Bayesian Statistics : Principles, Models, and Applications. New York: John Wiley & Sons. str. 69–102. ISBN 0-471-63729-7.

[6] Christopher M. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. str. 21–24. ISBN 978-0-387-31073-2.

[BDA-7] Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, David B. Dunson, Aki Vehtari and Donald B. Rubin (2014). Bayesian Data Analysis. CRC Press. str. 7. ISBN 978-1-4398-4095-5.{{navedi knjigo}}: Vzdrževanje CS1: več imen: seznam avtorjev (povezava)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]