Koordinatni vektor

Koordinátni véktor je v linearni algebri reprezentacija vektorja kot urejenega seznama števil ($n\!\,$-terice). ki opisuje vektor z rabo določene urejene baze. Preprost zgled je lahko lega, kot je (5, 2, 1) v trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu, kjer baza tvori osi tega sistema. Koordinate so vedno določene glede na urejeno bazo. Baze in z njimi povezane koordinatne reprezentacije omogočajo konkretno uresničitev vektorskih prostorov in linearnih transformacij kot stolpčnih vektorjev, vrstičnih vektorjev in matrik – zato so uporabne pri izračunih.

Zamisel koordinatnega vektorja se lahko rabi tudi za neskončnorazsežne vektorske prostore, kot je obravnavano spodaj.

Definicija

Naj je $V\!\,$ vektorski prostor razsežnosti $n\!\,$ nad poljem $F\!\,$ in naj je:

$B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}\!\,$

urejena baza za $V\!\,$. Potem za vsak $v\in V\!\,$ obstaja edinstvena linearna kombinacija baznih vektorjev $v\!\,$:

$v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}\!\,.$

Koordinatni vektor $v\!\,$ glede na bazo $B\!\,$ je zaporedje koordinat:

$\lbrack v\rbrack _{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})\!\,.$

To se imenuje tudi reprezentacija koordinatnega vektorja $v\!\,$ glede na bazo B ali reprezentacija baze B koordinatnega vektorja $v\!\,$. $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\!\,$ se imenujejo koordinate $v\!\,$. Vrstni red baze tukaj postane pomemben, saj določa vrstni red, v katerem so koeficienti navedeni v koordinatnem vektorju.

Koordinatne vektorje končnorazsežnih vektorskih prostorov se lahko predstavi z matrikami kot stolpčne ali vrstične vektorje. V zgornjem zapisu se lahko zapiše:

$\lbrack v\rbrack _{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}\!\,$

in:

$\lbrack v\rbrack _{B}^{\top }={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\!\,,$

kjer je $\lbrack v\rbrack _{B}^{\top }\!\,$ transponiranka matrike $\lbrack v\rbrack _{B}\!\,$.

Standardna reprezentacija

Zgornjo transformacijo se lahko mehanizira z definiranjem funkcije $\phi _{B}\!\,$, imenovane standardna reprezentacija V glede na bazo B, ki vsak vektor prevede v njegovo koordinatno reprezentacijo: $\phi _{B}(v)=[v]_{B}\!\,$. Potem je $\phi _{B}\!\,$ linearna transformacija iz $V\!\,$ v $F^{n}\!\,$. Dejansko je izomorfizem, njen inverz $\phi _{B}^{-1}\colon F^{n}\to V\!\,$ pa je preprosto:

$\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}\!\,.$

Lahko bi se od začetka definiralo $\phi _{B}^{-1}\!\,$ kot zgornjo funkcijo in se ugotovilo, da je $\phi _{B}^{-1}\!\,$ izomorfizem, in se definiralo $\phi _{B}\!\,$ kot njen inverz.

Zgledi

Zgled 1

Naj je $P_{3}\!\,$ prostor vseh algebrskih polinomov stopnje največ 3 (to je najvišji eksponent $x\!\,$ je lahko 3). Ta prostor je linearen in ga raztezajo naslednji polinomi:

$B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}\!\,,$

kar se ujema z:

$1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\!\,,$

potem je koordinatni vektor, ki odgovarja polinomu:

$p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\!\,,$

enak:

${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\!\,.$

V skladu s to reprezentacijo bo diferencialni operator $\operatorname {d} /\operatorname {d} \!x\!\,$, ki se ga označi z $\operatorname {D} \!\,$, predstavljen z naslednjo matriko:

$\operatorname {D} \!p(x)=P'(x);\quad \lbrack \operatorname {D} \rbrack ={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\!\,.$

S to metodo je enostavno raziskati lastnosti operatorja, kot so: obrnljivost, hermitska ali poševnohermitska lastnost ali nobena, spekter in lastne vrednosti ter drugo.

Zgled 2

Paulijeve matrike, ki predstavljajo operator spina pri transformaciji lastnih stanj spina v vektorske koordinate.

Matrika bazne transformacije

Naj sta $B\!\,$ in $C\!\,$ dve različni bazi vektorskega prostora $V\!\,$, in naj se z $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\!\,$ označi matrika, ki ima stolpce, sestavljene iz reprezentacije $C\!\,$ baznih vektorjev $b_{1},b_{2},\ldots b_{n}\!\,$

$\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}\!\,.$

Ta matrika se imenuje matrika bazne transformacije iz $B\!\,$ v $C\!\,$. Lahko se jo obravnava kot avtomorfizem nad $F^{n}\!\,$. Vsak vektor $v\!\,$, predstavljen v bazi $B\!\,$, se lahko pretvori v reprezentacijo v $C\!\,$ na naslednji način:

$\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}\!\,.$

Pri transformaciji baze sta zgornji indeks na transformacijski matriki $M\!\,$ in spodnji indeks na koordinatnem vektorju $v\!\,$ enaka in se navidezno izničita, pri čemer ostane preostali spodnji indeks. Čeprav to lahko služi kot pomoč pri pomnjenju, je pomembno, da se takšno izničevanje ali podobna matematična operacija ne izvaja.

Posledica

Matrika $M\!\,$ je obrnljiva matrika, $M^{-1}\!\,$ pa je matrika bazne transformacije iz $C\!\,$ v $B\!\,$. Z drugimi besedami:

${\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\!\,.\end{aligned}}$

Neskončnorazsežni vektorski prostori

Naj je $V\!\,$ neskončnorazsežni vektorski prostor nad poljem $F\!\,$. Če je razsežnost $\kappa \!\,$, potem obstaja baza $\kappa \!\,$ elementov za $V\!\,$. Ko se izbere red, se lahko bazo obravnava kot urejeno bazo. Elementi $V\!\,$ so končne linearne kombinacije elementov v bazi, ki dajejo edinstvene koordinatne reprezentacije natanko tako, kot je opisano prej. Edina sprememba je, da indeksna množica za koordinate ni končna. Ker je dani vektor $v\!\,$ končna linearna kombinacija baznih elementov, bodo edini neničelni elementi koordinatnega vektorja za $v\!\,$ neničelni koeficienti linearne kombinacije, ki predstavlja $v\!\,$. Tako je koordinatni vektor za $v\!\,$ v enak nič, razen v končno mnogo elementih.

Linearne transformacije med (morda) neskončnorazsežnimi vektorskimi prostori je mogoče modelirati, analogno končnorazsežnemu primeru, z neskončnimi matrikami. Poseben primer transformacij iz $V\!\,$ v $V\!\,$ je opisan v članku o polnem linearnem kolobarju.

Glej tudi

• sprememba baze
• vektorski prostor

Viri

• Anton, Howard; Rorres, Chris (12. april 2010), Elementary Linear Algebra: Applications Version (10. izd.), Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Incorporated, str. 773, ISBN 978-0-470-43205-1, LCCN 2010000340, OCLC 463637219, OL 24790931M – prek Google Knjige