Parâmetro de escala

Em teoria da probabilidade e estatística, um parâmetro de escala é um tipo de parâmetro numérico de uma família paramétrica de distribuições de probabilidade que remete à quão dispersa a distribuição é. Quanto maior o parâmetro de escala, mais dispersa é a distribuição, ou seja, mais provavel é encontrar valores mais distantes da média e mediana.

Definição formal

Se uma família de distribuições de probabilidade é tal que existe um parâmetro s (e um outro conjunto de parâmetros θ) para os quais a função de distribuição acumulada satisfaz

$F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),$

Então, s é chamado de parâmetro de escala, pois seu valor determina a escala, ou seja, a dispersão estatística da distribuição de probabilidade. Se s for grande, a distribuição será mais dispersa; se s for pequeno, será mais concentrada.

Se a densidade de probabilidade existir para todos os valores do conjunto completo de parâmetros, então a densidade (como função apenas do parâmetro de escala) satisfaz: $f_{s}(x)=f(x/s)/s,$ onde f é a densidade de uma versão padronizada da densidade, ou seja, $f(x)\equiv f_{s=1}(x)$ .

Um estimador de um parâmetro de escala é chamado de estimador de escala.

Famílias com parâmetros de localização

Quando uma família parametrizada possui um parâmetro de localização, uma definição ligeiramente diferente é frequentemente utilizada.

Se denotarmos o parâmetro de localização por $m$ e o parâmetro de escala por $s$ , então exigimos que $F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )$ onde $F(x,s,m,\theta )$ é a função de distribuição acumulada para a família parametrizada. ^[1] Essa modificação é necessária para que o desvio padrão (ou qualquer outra medida de escala) de uma distribuição que tenha um centro que não seja em zero seja um parâmetro de escala, pois, caso contrário, a média mudaria quando reescalássemos $x$ . No entanto, esta definição alternativa não é usada de forma consistente. ^[2]

Parâmetro de taxa

Algumas famílias de distribuições usam um parâmetro de taxa (ou parâmetro de escala inverso ), que é simplesmente o inverso do parâmetro de escala . Por exemplo, a distribuição exponencial com parâmetro de escala β possui densidade de probabilidade $f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0$ mas poderia ser escrita equivalentemente com o parâmetro de taxa $\lambda ={\frac {1}{\beta }}$ $f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.$

Exemplos

A distribuição uniforme pode ser parametrizada com um parâmetro de localização de $(a+b)/2$ e um parâmetro de escala $|b-a|$ .
A distribuição normal possui dois parâmetros: um parâmetro de localização. $\mu$ e um parâmetro de escala $\sigma$ , seu desvio padrão. Na prática, a distribuição normal é frequentemente parametrizada em termos da escala ao quadrado $\sigma ^{2}$ que é chamado de variância.
A distribuição gama é geralmente parametrizada em termos de um parâmetro de escala $\theta$ ou seu parâmetro de taxa.
Casos especiais de distribuições em que o parâmetro de escala é igual a um podem ser chamados de "padrão" sob certas condições. Por exemplo, se o parâmetro de localização for igual a zero e o parâmetro de escala for igual a um, a distribuição normal é conhecida como distribuição normal padrão, e a distribuição de Cauchy como distribuição de Cauchy padrão .

Estimativa

Uma estatística pode ser usada para estimar um parâmetro de escala se:

Seja invariante em relação à localização,
Escale linearmente com o parâmetro de escala, e
Convirja à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Com a última condição sendo necessária para o estimador do parâmetro de escala ser consistente. Diversas medidas de dispersão estatística satisfazem tais requisitos, apesar de exigirem certas modificações para serem estimadores consistentes. Para que uma estatística estime o parâmetro de escala, geralmente é necessário multiplicá-la por um fator de escala constante, que depende da distribuição em questão.

Por exemplo, para usar o desvio absoluto mediano para estimar o desvio padrão da distribuição normal, é preciso multiplicá-lo pelo fator 1.4826, uma vez que $1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,$ onde Φ ⁻¹ é a função quantil (inversa da função de distribuição cumulativa) para a distribuição normal padrão. Ou seja, 1,4826... × (desvio absoluto mediano) é um estimador consistente para o desvio padrão de uma distribuição normal. Da mesma forma, o desvio absoluto médio precisa ser multiplicado por aproximadamente 1,2533 para ser um estimador consistente para o desvio padrão. Fatores diferentes seriam necessários para estimar o desvio padrão se a população não seguisse uma distribuição normal.

Veja também

tendência central
Estimador invariante
Parâmetro de localização
Família de escala de localização
Dispersão que preserva a média
Mistura de escamas
Parâmetro de forma
Dispersão estatística

Referências

↑ Prokhorov, A.V. (7 fevereiro 2011). «Scale parameter». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 7 fevereiro 2019
↑ Koski, Timo. «Scale parameter». KTH Royal Institute of Technology. Consultado em 7 fevereiro 2019

[1] Prokhorov, A.V. (7 fevereiro 2011). «Scale parameter». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 7 fevereiro 2019

[2] Koski, Timo. «Scale parameter». KTH Royal Institute of Technology. Consultado em 7 fevereiro 2019

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