Symmetrisk matrise

Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si.^[1] Formelt er ei matrise M symmetrisk hvis og bare hvis $M=M^{T}$ .^[1] Bare kvadratmatriser, altså matriser med like mange kolonner som rader, kan være symmetriske.

Eksempel

$M={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}$

Matrisa M er symmetrisk siden $M=M^{T}$ .

Følgende matrise A vil derimot ikke være symmetrisk:

$A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&5\\3&1&6\end{pmatrix}},~~A^{T}={\begin{pmatrix}1&3&3\\2&4&1\\2&5&6\end{pmatrix}},~~A\neq A^{T}.$

Egenskaper

Ei reell symmetrisk matrise har noen spesielle egenskaper utover ei vanlig matrise. Følgende egenskaper følger fra spektralteoremet for symmetriske matriser

Egenvektorer tilhørende forskjellige egenverdier er ortogonale^[2]
Det vil være n reelle egenverdier gitt at matrisa er av dimensjon n x n.
Dimensjonen av egenrommet for en egenverdi $\lambda$ er det samme som multiplisiteten av rota $\lambda$ i det karakteristiske polynomet
Ei symmetrisk matrise vil alltid være diagonaliserbar^[2]

Referanser

1 2 Weisstein, Eric W. «Symmetric Matrix». mathworld.wolfram.com (på engelsk). Besøkt 23. mars 2025.
1 2 Axler, Sheldon (2024). «Chapter 7 Operators on Inner Product Spaces». Linear Algebra Done Right. Springer. ISBN 978-3031410253.

[:0-1] 1 2 Weisstein, Eric W. «Symmetric Matrix». mathworld.wolfram.com (på engelsk). Besøkt 23. mars 2025.

[:1-2] 1 2 Axler, Sheldon (2024). «Chapter 7 Operators on Inner Product Spaces». Linear Algebra Done Right. Springer. ISBN 978-3031410253.

[1]

[2]