Kaardiprojektsioon

Kaardiprojektsioon ehk kartograafiline projektsioon on sfäärilise pinna punktide tasapinnal kujutamise matemaatiline viis.

Kaardiprojektsioonide liigitamine

Projektsioone liigitatakse mitme eri tunnuse alusel, näiteks projektsiooni omaduse (moonutuse), aspekti, regionaalse sobivuse (poolkerade, maailmajagude jne) järgi. Kõige enam on liigitamisel lähtutud projektsiooni siirdepinnast ning projektsioonil abil saadud paralleelide ja meridiaanide üldkujust kaardil.

Kolm peamist kaardiprojektsiooni klassi: silindriline, kooniline ja tasandiline.

Kaardiprojektsioonide klassid

Kaardiprojektsioonide klasse eristatakse kolme enamkasutatava siirdepinna – tasand, silinder, koonus – alusel. Paralleelide ja meridiaanide kuju ehk kaardivõrk on nende kolme põhiklassi normaalaspekti (normaalvõrk) puhul kergesti äratuntav – meridiaanid on kaardil alati sirgjooned ning paralleelid sirgjooned või kontsentrilised ringjooned.

Normaalvõrgu sarnasuse alusel põhiklassiga eristatakse pseudoklasse. Pseudoklasside projektsioonid on saadud üldjuhul põhiklasside muutmise teel ja neil normaalaspekti korral paralleelide kuju ei muutu. Kooniliste ja pseudokooniliste projektsioonide kõrval eristatakse veel polükoonilisi projektsioone. On veel üksjagu projektsioone, mis ei ole liigitatavad eelnimetatud klasside alla; neid nimetatakse kokkuleppelisteks projektsioonideks. Kaardiprojektsioonide klassid on seega:

• silindrilised projektsioonid,
• pseudosilindrilised projektsioonid,
• koonilised projektsioonid,
• pseudokoonilised projektsioonid,
• polükoonilised projektsioonid,
• tasandilised e asimutaalsed projektsioonid,
• pseudotasandilised projektsioonid,
• kokkuleppelised e muud projektsioonid.

Kaardiprojektsiooni aspektid

Kaardiprojektsiooni aspektid silindrilise projektsiooni korral: normaal-, põik- ja kaldaspekt. Segaduste vältimiseks kasutatakse normaal- ja põikaspekti eristamisel ka mõisteid ekvatoriaalne aspekt või polaarne aspekt vastavalt sellele, kas projektsioonikese paikneb ekvaatoril või poolusel.

Kaardiprojektsiooni aspekte on kolm: normaal-, põik- ja kaldaspekt. Ühel projektsioonil võib olla mitu aspekti ning kuna iga aspekti arvutus on matemaatiliselt erinev, loetakse neid erinevateks projektsioonideks. Samas on projektsiooni konstrueerimise põhimõtted üldreeglina samad, muutuvad standardjoonte suunad, kuid projektsiooni põhiomadused reeglina säilivad.

Normaalaspekti puhul on abipind või standardjoone tasand maaellipsoidi teljega risti. Silindrilistel projektsioonidel tähendab see projektsiooni konstrueerimist ekvaatori suhtes (vt kõrvalolevat joonist), koonilistel projektsioonidel standardparalleeli suhtes ja asimutaalsetel projektsioonidel Maa pooluse suhtes.

Põikaspekti puhul on projektsiooni standardjooned ehk abipind normaalaspektiga võrreldes risti. Silindrilistel projektsioonidel on konstrueerimise aluseks meridiaan (vt kõrvalolevat joonist), koonilistel projektsioonidel ekvaatoriga ristuv(ad) väikeringjoone kaar(ed) ning asimutaalsetel projektsioonidel paikneb tasandi puutepunkt või projektsioonikese ekvaatoril.

Kaldaspekti puhul on projektsiooni standardjooned orienteeritud mingis muus suunas kui normaal- või põikaspekti puhul.

Kaardi projitseerimisviisid

a) ortogonaalne projektsioon b) tsentraalne (gnomooniline) projektsioon

c) stereograafiline projektsioon d) perspektiivne projektsioon

Tüüpilisemad kaardi projitseerimisviisid on:

• ortogonaalne projektsioon – projitseeritakse tasapinnale paralleelsete sirgete abil. See tähendab, et iga punkti jaoks Maal leitakse lähim punkt tasapinnal. Näiteks foto planeedist Maa, mis on tehtud piisavalt kaugelt (näiteks Kuult), on ortogonaalne projektsioon Maast. Praktikas leiab ortogonaalne projektsioon kasutamist topograafiliste plaanide puhul. Väikesemõõtkavaliste kaartide korral võimaldab see viis pindalamoonutusi hoida minimaalsetena.
• tsentraalne (gnoomiline) projektsioon – projitseerimiskese asub maaellipsoidi keskmes. Lihtne geomeetriline lahendus, mille oluline omadus on see, et mitmel selle projektsiooniga kaardil kujutatakse kõige lühemad jooned kahe punkti vahel sirgjoontena.
• stereograafiline projektsioon – projitseerimiskese asub maaellipsoidi vastasküljel. See on klassikaline projitseerimisviis, mis tasandilise siirdepinna korral annab õigenurkse kaardi.
• perspektiivne projektsioon – projitseerimiskese asub mis tahes punktis väljaspool maaellipsoidi. Perspektiivse projektsiooniga kaartidel on võimalik kujutada Maad, nagu see näib lennult vaadatuna. Näiteks on perspektiivse projektsiooniga kosmoses tehtud fotod Maast.

Moonutused kaardil

Kartograafilisi moonutusi iseloomustavad ellipsid Mercatori projektsiooni näitel

Mitte ükski kaardiprojektsioon ei kujuta Maa pinda täpselt sellisena, nagu see on. Iga kaardiprojektsiooni puhul esineb kaardil moonutusi. Kaardiprojektsiooni valik sõltub kaardi eesmärgist, st ühe projektsiooniga kaasnevad moonutused kaardil on mingis olukorras vastuvõetavamad kui teise projektsiooniga kaasnevad moonutused. Kaardiprojektsioone on väga palju. Üks ja sama kujund maaellipsoidil annab nelja klassikalise projitseerimisviisi korral tasapinnale erinevaid tulemusi.

Kartograafias vaadeldakse olulisemate moonutustena:

• joonpikkuste moonutust,
• pindalade moonutust,
• nurkade moonutust,
• kuju moonutust.

Moonutuste suurus on kaardi eri osades reeglina erinev. Kui joonpikkuste moonutus esineb igal kaardil, siis ka kaardi mõõtkava muutub kaardi eri osades. Kõik moonutuste liigid on ühel kaardil omavahel väga kindlates matemaatilistes seostes ehk ühe muutmine mõjutab ka teisi.

Kaardiprojektsioonide väljatöötamise ja kasutamise kõige olulisem küsimus seisneb just moonutuste jaotumises kaardil. Sageli on eesmärk konstrueerida projektsioon, mille puhul kas teatud liiki moonutus puudub või püsib etteantud piirides.

Projektsiooni omadused

Projektsiooni omadusi kirjeldatakse moonutuste eripära alusel. Omaduste järgi eristatakse enamasti järgmisi projektsioonide rühmi:

• konformsed,
• õigenurksed,
• õigepindsed (ekvivalentsed),
• õigepikkuselised,
• vähimmoondelised,
• sobedad.

Konformse projektsiooniga kaardi suvalisest punktist võetuna jääb mõõtkava igas suunas samaks. See tähendab, et lõpmatult väike geomeetriline kujund kaardil ei deformeeru (ringjoon jääb näiteks ringjooneks). Sellist omadust nimetatakse konformsuseks ehk kuju moondevabaks edasiandmiseks. Konformsed projektsioonid on ka õigenurksed.

Õigenurkse projektsiooniga kaardil vastab nurk kahe suvalise suuna vahel tegelikkusele. Tegelikkuses mõeldakse "suuna" all kindla asimuudiga joont ehk loksodroomi, mis pole looduses pikkade vahemaade korral sirgjoon. Lühim, sirgjooneline lõik looduses kahe punkti vahel on ortodroom, mis muudab oma asimuuti ega pruugi kujutuda õigenurksel kaardil sirgena. Õigenurkse projektsiooni korral meridiaanid ja paralleelid ristuvad. Õigenurksed konformsed projektsioonid on kõige levinumad suuremõõtkavaliste topograafiliste kaartide alusprojektsioonina, samuti on need laialt kasutatavad navigatsioonikaartide ja erikaartide (merendus, lennundus, raadiolokatsioon jms) puhul, kus suundade võtmine ja nurkade mõõtmine on kaardi juures kõige olulisem.

Õigepindse (ekvivalentse) projektsiooni korral säilib kogu kaardi ulatuses suvaliste alade omavaheline pindalaline proportsioon. Üldreeglina tähendab õigepindsus ilmselget nurkade moonutamist, sellega kaasneb ka erimõõtkava muutumine sõltuvalt suunast. Õigepindsed projektsioonid on vajalikud selliste väikesemõõtkavaliste kaartide jaoks, kus pindalafaktori arvestamine on oluline. Selliseid projektsioone on tungivalt soovitav kasutada teemakaartidel, mis esitavad teavet tihedusele tuginedes (nt rahvastikutiheduse kaardid). Õigepindseid projektsioone on üpris palju ja neid kasutatakse palju atlasekaartide puhul.

Õigepikkuselise (ekvidistantse) projektsiooni puhul on teatud jooned (tavaliselt kaugus projektsiooni keskmest) moonutusteta. See kehtib ainult ühest-kahest punktist võetuna ja/või kindlatel joontel, milleks tavaliselt võivad olla meridiaanid, paralleelid. Pikkused muude punktide vahel on aga mingil määral moonutatud. Õigepikkuselisi projektsioone kasutatakse erikaartide puhul (nt raadiolokatsioonis) või ka mujal, kus soovitakse näidata tegelikke kaugusi mingist punktist.

Vähimmoondelise projektsiooni puhul, nagu nimetuski ütleb, on taotluslikult püütud viia kõik põhilised moonutused miinimumini. Sellised projektsioonid omavad praktilist tähtsust väikesemõõtkavaliste, ent tehnilisema otstarbega kaartide või ka teatmekaartide puhul.

Sobedad on üldnimetus projektsioonidest, mis ei ole ei konformsed ega õigepindsed (kuid võivad olla õigepikkuselised). Neid nimetatakse ka kokkuleppelisteks ehk konventsionaalseteks projektsioonideks. Peamist rakendust leiavad sobedad projektsioonid atlasekaartide juures, mis sageli püüavad parandada mingite konformsete või õigepindsete projektsioonide nõrku külgi, esile tuua üht või teist ideed (nt Maa sfäärilisus, mandrite paiknemine jms) või teatud proportsioonide hoidmist (nt maismaa ja maailmamere vahel).

Väga suurte moonutustega ehk ekstravagantseid kindlate omadusteta projektsioone nimetatakse suvalisteks ehk meelevaldseteks projektsioonideks.

Kaardiprojektsioonide nimetamise reeglid

On olemas palju erinevaid kaardiprojektsioone. Iga kaardiprojektsiooni nimetuses kasutatakse sõna "projektsioon" ees pärisnime (projektsiooni autori perekonnanimi) omastavas käändes ja sõnu, mis väljendavad selle projektsiooni iseloomulik tunnust, omadust, klassi, aspekti või vormilist tunnust. Võidakse kasutada mitut täiendit, kuid enamasti kasutatakse ainult pärisnime (näiteks Robinsoni projektsioon). Täiendavate tunnuste vajadus tekib näiteks siis, kui üks inimene on loonud mitu erinevat projektsiooni (näiteks Lamberti konformne kooniline projektsioon ja Lamberti õigepindne silindriline projektsioon). See reegel pole siiski universaalne, sest on olemas Mercatori projektsioon, mille nimes ei sisaldu täiendeid, ehkki on olemas ka Mercatori põikprojektsioon, Mercatori universaalne põikprojektsioon ja Mercatori kaldprojektsioon. Seega on projektsioonide nimed võimaluse korral lihtsad ja lühikesed. Projektsioonide nimedes sisalduvad täiendavad omadused esitatakse alljärgnevas järjestuses:

1. Pärisnimi on enamasti projektsiooni looja perekonnanimi, näiteks Lamberti projektsioon, Mercatori projektsioon, Petersi projektsioon.
2. Iseloomulik tunnus on enamasti seotud projitseerimiskeskmega, näiteks tsentraalne projektsioon, perspektiivne projektsioon.
3. Omadus on seotud moonutuse liigiga, näiteks konformne projektsioon, sobe projektsioon, õigepikkuseline projektsioon, õigepindne projektsioon.
4. Klassi määrab siirdepind, näiteks silindriline projektsioon, kooniline projektsioon, asimutaalne projektsioon.
5. Aspekt tuleneb siirdepinna asendist: näiteks põiksilindriline projektsioon.
6. Vormiline tunnus on projektsioonile iseloomulik omadus, näiteks lahtilõigetega projektsioon.

Vaata ka

• Rahvusvaheline geodeetiliste koordinaatide süsteem
• Kaardiprojektsioonide loend
• Kaart
• Kartograafia
• Geoinfosüsteem

Välislingid

• Ülevaade kaardiprojektsioonidest Tartu Ülikooli kodulehel
• Map Projections
• Mathworld Map Projections
• How Projections Work