Uendelighed

Det matematiske symbol for uendelighed.

Uendelighed er et begreb, der bruges om noget, som ikke har nogen ende. Begrebet bruges i mange fag, blandt andet i matematik og fysik. Talrækken (1,2,3,4,5,6,7, osv.) er et eksempel på noget, der er uendeligt. Man kan fortsætte med at nævne et tal uden nogensinde at nå til en ende - et sidste tal. Verdensrummet er måske også uendeligt.

Det matematiske symbol for uendelighed blev introduceret af den engelske præst og matematiker John Wallis i 1655. Der findes forskellige teorier om, hvad symbolet forestiller, f.eks. at det forstiller et liggende 8-tal - eller en slange, der bider sig selv i halen.

Uendelighedsbegrebets historie

Oldtidens kulturer (før middelalderen) havde vidt forskellige ideer om uendelighed. De gamle grækere og indere havde ingen præcis definition af uendelighed, som man har i den moderne matematik. I oldtiden betragtede man uendelighed filosofisk snarere end matematisk.

Den tidligst kendte ide om uendelighed stammer fra den den græske filosof Anaximander (ca. 610–546 f.Kr.), en førsokratiker fra byen Milet. Han opfandt begrebet τὸ ἄπειρον (gr.), som betyder "det uendelige, det ubegrænsede" (i kvantitativ forstand). Den første matematiske forståelse af uendelighed kommer fra Zenon fra Elea. Han er bedst kendt for sine paradokser om uendelighed (se Zenons paradoks). Disse paradokser er i dag ikke længere opfattet som paradokser, da man har fundet ud af, at man kan summere en uendelig række til en endelig værdi.

I den matematiske indiske tekst Surya Prajnapti, som stammer fra ca. år 400, klassificeres alle tal i grupperne: tallige, utallige og uendelige.

I 1866 fik den tyske matematiker Georg Cantor ideen om, at uendeligheder kan have forskellige størrelser.

Potentiel uendelighed og aktuel uendelighed

I matematikfilosofiens historie har begreberne potentiel uendelighed og aktuel uendelighed spillet en stor rolle.

Potentiel uendelighed er begrebet om uendelighed som en proces, der aldrig ender. I denne proces kan man til stadighed tilføje et nyt element uden at nå til et sidste element. I forbindelse med talrækken kan man f.eks. til stadighed sige: "Tilføj 1 til det foregående tal."

Aktuel uendelighed er begrebet om uendelighed som en faktisk foreliggende størrelse. Man kan f.eks. tale om "mængden af de naturlige tal", selv om der er et uendeligt antal naturlige tal.

Et linjestykke med uendeligt mange punkter.

Man kan illustrere forholdet mellem den potentielle uendelighed og den aktuelle uendelighed med følgende eksempel: Man anbringer to punkter i en vis afstand fra hinanden. Mellem de to punkter trækker man en lige linje. Dette linjestykke deler man nu i to nye linjestykker ved at anbringe et nyt punkt præcis midt imellem de to punkter. Hver af disse to linjestykker deler man derefter i to nye linjestykker ved at anbringe et nyt punkt præcis i midten. På denne måde fortsætter man med at anbringe stadig nye punkter midt i de stadig nye linjestykker der fremkommer. Denne proces vil fortsætte i det uendelige, da et punkt ikke har nogen udstrækning. Her er begrebet om den potentielle uendelighed.

Det er imidlertid også muligt at opfatte det oprindelige linjestykke som en mængde af punkter. Linjestykket er en punktmængde. Her er begrebet om den aktuelle uendelighed: uendelighed som en faktisk foreliggende størrelse.

Udtrykkene "potentielt uendelig" og "aktuelt uendelig" stammer fra den græske filosof Aristoteles (384-322 f.Kr.). Han mente, at matematikerne i praksis kun brugte begrebet om den potentielle uendelighed, og at dette begreb "var nok".

Gennem matematikfilosofiens historie har der været en spænding mellem de to uendelighedsbegreber. Et flertal af matematikerne var enige med Aristoteles indtil midten af 1800-tallet. For eksempel sagde den store matematiker Carl Friedrich Gauss:

"Jeg protesterer mod brugen af uendelig størrelse som noget fuldendt, hvilket aldrig er tilladt i matematik. Uendelighed er blot en måde at tale på, hvor den sande betydning er en grænse, som visse forhold nærmer sig uendeligt tæt på, mens andre får lov til at vokse uden begrænsning." (C.F. Gauss i et brev d. 12. juli 1831) 

I midten af 1800-tallet skete der en drejning, således at et flertal af matematikerne derefter blev tilhængere af den aktuelle uendelighed. Begrebet aktuel uendelighed blev for alvor introduceret i matematikken af den tyske matematiker Georg Cantor (1845-1918) med hans teori om uendelige mængder. Cantor opdagede, at hvis man accepterer uendelige mængder, så findes der forskellige størrelser af uendelige mængder. F.eks. er den uendelige mængde af naturlige tal større (har en større kardinalitet (mægtighed)) end den uendelige mængde af primtal. I denne anvendelse er uendelighed et matematisk begreb, og uendelige matematiske objekter kan studeres, manipuleres og bruges ligesom ethvert andet matematisk objekt.

Den aktuelle uendelighed er nu almindeligt accepteret i matematikken, selvom udtrykket ikke længere bruges og er blevet erstattet af begrebet "uendelige mængder."

Den matematiske betydning af ordet "aktuel uendelighed" må ikke forveksles med fysisk eksisterende uendelighed. Spørgsmålet om, hvorvidt naturlige eller reelle tal danner bestemte mængder, er uafhængigt af spørgsmålet om, hvorvidt uendelige ting fysisk eksisterer i naturen. Man behøver ikke at "tro" på, at uendelige ting findes i naturen, for at skrive matematisk gyldige udtryk med symboler for uendeligheden.

Uendelighedsbegrebet i forskellige fag

Matematik

Uendeligheder som tal

Uendeligheder bliver nogle gange betragtet som tal; dog er en uendeligheder ikke reelle tal. En taltype, der tillader uendeligheder, er de surreelle tal.

Mængdelære

I mængdelæren har uendeligheder forskellige størrelser. Disse størrelser afgøres af "antallet" (kardinaliteten) af naturlige tal.

En mængde er uendelig (har uendeligt mange elementer), hvis der eksisterer en ægte delmængde af mængden (en delmængde, der ikke indholder alle elementer i mængden), der har samme kardinalitet som mængden selv. Det vil sige, at der eksisterer en bijektion fra A til B, hvor B er mindre end A.

Hvis man forestiller sig mængden af de naturlige tal (ℕ) og mængden af kvadrattal, så eksisterer der en bijektion fra de naturlige tal til kvadrattallene: f(x)=x². For ethvert element i ℕ findes der nemlig et tilsvarende element i kvadrattallene (f(n)=n²), samtidig med at kvadrattallene er en ægte delmængde af de naturlige tal. Derfor er antallet af naturlige tal uendeligt.

I 1866 fik den tyske matematiker Georg Cantor den ide, at uendeligheder kan have forskellige størrelser. Hans arbejde var epokegørende for den moderne matematik. Ideen blev udviklet af Cantor som en løsning på Galileos paradoks (at der er lige så mange naturlige tal som kvadrattal). Ideen var lidt overraskende, da kardinalitet normalt forstås som størrelsen af elementer i en endelig mængde. Men Cantor sagde altså, at begrebet kardinalitet også kunne bruges om uendelige mængder.

En måde at forklare denne ide på er ved at sige, at der altid vil eksistere en ægte delmængde, som kun er et endeligt antal elementer mindre end den oprindelige mængde (fx en delmængde, hvor kun et element er fjernet), og da et endeligt tal er uendeligt småt i forhold til en uendelighed, har det ingen betydning (lim_u→∞u-n = lim_u→∞u) for uendeligheden (men dog for kardinaliteten).

Leopold Kronecker, Cantors tidligere professor, var skeptisk over for denne ide og udviklede derfor finitismen, som er den matematikfilosofi, der ikke accepterer uendelige matematiske objekter (tal, mængder, osv.). Finitismen mener f.eks., at alle naturlige tal eksisterer, men at den uendelige mængde af de naturlige tal ikke kan betragtes som et matematisk objekt.

I mængdelæren taler man om tællelige og ikke-tællelige mængder. En tællelig mængde er en mængde, som har samme kardinalitet som de naturlige tals mængde, og en ikke-tællelig mængde er en mængde med højere kardinalitet. Eksempler på tællelige mængder er de naturlige tal, de rationale tal, primtallene og de beregnelige tal. Eksempler på Ikke-tællelige mængder er de reelle tal, Russells mængde (Se Russells paradoks), irrationale tal og ethvert interval af reelle tal.

Reel analyse

I reel analyse (studiet af reelle tal og funktioner) betegner symbolet, ∞ et tal, som går imod uendelig, altså $\infty =\lim _{u\to \infty }u$. Denne uendelighed har ingen "størrelse" og er derfor entydig. Denne notation bruges f.eks. til sumrækker og integraler:

$\int _{-\infty }^{\infty }\,f(x)\ dx\$ betyder hele arealet under kurven af f(x).

$\int _{a}^{b}\,f(x)\ dx\ =\infty$ betyder, at arealet fra $a$ til $b$ under kurven af $f(x)$er uendeligt.

$\sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)$ betyder summen af f(i) over i for alle naturlige tal inklusive 0.

$\sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty$ betyder, at summen ikke konvergerer, men går imod uendelig.

Derudover betyder dx (i integraler) en infinitesimal, altså en "uendeligdel". Hvis man undlader dx, vil integralet ofte blive uendeligt.

Kompleks analyse

I kompleks analyse er "uendelig" også en approksimation, men denne gang er z uendeligt, hvis |z|→∞. Det kan visualiseres som en cirkel med en uendelig radius på den komplekse plan.

Fysik

Uendelig tid.

Den matematiske betydning af ordet "aktuel uendelighed" må som sagt ikke forveksles med fysisk eksisterende uendelighed. Spørgsmålet, om der findes noget fysisk uendeligt, er uafhængigt af, om man accepterer det matematiske begreb "aktuel uendelighed".

Det er muligt, at tiden er uendelig. Det er også muligt, at rummet - verdensrummet - er uendeligt.

Det klassiske græske argument for rummets uendelighed er følgende: Hvis en person står ved universets ende og kaster et spyd mod det, kan der ske en af to ting: 1) Spyddet flyver ud over universets grænse. 2) Spyddet møder modstand. I det første tilfælde var grænsen ikke en reel grænse. I det andet tilfælde må man formode, at dét der hindrede spyddet, selv ligger på den anden side af grænsen.

Rummets topologi er dog stadigt ukendt. Der er to hovedteorier: Den ene teori siger, at rummet har en lukket topologi, hvilket betyder at rummet er endeligt. Hvis man rejser til enden af rummet, vil man bare "komme tilbage" fra den anden side. Den anden teori siger, at rummet er en næsten flad "plade", som har en uendelig overflade.

Religion

Begrebet "uendelighed" må ikke forveksles med begrebet "evighed", som er et begreb, der hører hjemme i forbindelse med religiøse oplevelser. Evighed er et begreb om en tidløs væren - en væren hinsides selve tiden. I evigheden er oplevelsen af tid ophævet. Men samtidig er evigheden til stede i ethvert tidspunkt. En mystiker kan opleve evigheden på ethvert tidspunkt.

Undertiden bruges begrebet "uendelighed" i den religiøse tænkning som et billede på Gud eller det metafysiske. Gud transcenderer det fysiske. Således siger den franske filosof Blaise Pascal:

"En enhed, føjet til det uendelige, gør ikke dette det mindste større, lige så lidt som et uendeligt mål bliver større ved, at der tilføjes en fod. Det endelige forsvinder over for det uendelige og bliver til et rent intet. På samme måde går det vor ånd over for Gud, og vor retfærdighed over for den guddommelige retfærdighed."

Se også

• Sætningen om uendeligt mange aber
• Hilberts hotel
• Ikke-tællelig
• Cantors diagonalbevis
• Kardinalitet
• Mængdelære

Litteratur

• Hartnack, Justus (1993): Erkendelsens grundlag. Paradokser inden for logikken og matematikkens filosofi. Reitzel. ISBN 8774218204
• Kirkegaard, Karl Aage (2026): Naturvidenskaben og Gud. Mellemgaard. ISBN 978-87-7650-015-3
• Kleene, Stephen C.: (1952 (1971-udgave, 10. oplag)): Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. ISBN 0-444-10088-1
• Maddox, Randall B. (2002): Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press. ISBN 978-0-12-464976-7
• Mejlbo, Lars C. (1991): Om det uendelige. Matematiklærerforeningen. ISBN 87-89229-45-2
• Pascal, Blaise (1974): Tanker. Gyldendal. Oprindelig udgivet posthumt i 1669. ISBN 87-00-13531-3
• Rapp, Christof (1997): Vorsokratiker. Reihe Denker. C.H. Beck Verlag, München. ISBN 978-3-406-81484-6

Eksterne henvisninger

• Lydforedrag om matematisk uendelighed Arkiveret 18. februar 2014 hos Wayback Machine ved Flemming Topsøe, docent i matematik på Københavns Universitet.
• Rundt om uendeligheden ved Vagn Lundsgaard Hansen, professor i matematik ved Danmarks Tekniske universitet.