Svazek (matematika)

V matematice je svazek souhrnné shromáždění lokálně definovaných dat (jako jsou množiny, abelovské grupy, okruhy) nad topologického prostoru vůči jejich otevřených množin. Taková data se chovají dobře v tom, že je lze omezit na menší otevřené množiny a kolekce souhrnných dat přiřazené otevřených množin jedinečně definují daty na související pokrytí.

Oblast matematiky, která studuje svazy, se nazývá teorie svazů.

Svazy jsou koncepčně chápány jako obecné a abstraktní objekty. Jejich přesná definice je spíše technická. Jsou konkrétně definovány například jako svazy množin nebo jako svazy okruhů, v závislosti na typu dat přiřazených otevřeným množinám.

Existují také zobrazení (nebo morfismy) z jednoho svazu; svazy (specifického typu, jako například svazy abelovských grup ) s jejich morfismy na pevném topologickém prostoru tvoří kategorii.

Vzhledem ke své obecné povaze a všestrannosti mají svazy několik aplikací v topologii a zejména v algebraické a diferenciální geometrii . Zaprvé, geometrické struktury, jako je diferencovatelná varieta nebo schéma, lze vyjádřit pomocí svazu okruhů na prostoru. V takových kontextech je několik geometrických konstrukcí, jako jsou vektorové svazky nebo dělitelé, přirozeně specifikováno pomocí svazů. Zadruhé, svazy poskytují rámec pro velmi obecnou teorii kohomologie, která zahrnuje i „obvyklé“ topologické teorie kohomologie, jako je singulární kohomologie. Zejména v algebraické geometrii a teorii komplexních variet poskytuje svazová kohomologie silné spojení mezi topologickými a geometrickými vlastnostmi prostorů. Svazy také poskytují základ pro teorii D-modulů, které poskytují aplikace v teorii diferenciálních rovnic. Kromě toho zobecnění svazů na obecnější prostředí než topologické prostory, jako je pojem svazu na kategorii vzhledem k nějaké Grothendieckově topologii, poskytla aplikace v matematické logice a teorii čísel.

Definice a příklady

Předsvazek

Buď $X$ topologický prostor. Předsvazek množin ${\mathcal {F}}:\mathbf {Top} (X)^{op}\to \mathbf {Set}$ je kontravariantní funktor z kategorii otevřených množin prostoru $X$ do kategorii množin.

• Pro otevřenou množinu $U$, množinu ${\mathcal {F}}(U)$ také naznačeno $\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ se říká řezy ${\mathcal {F}}$ nad otevřenou množinu $U$. $\Gamma (X,{\mathcal {F}})$, řezů ${\mathcal {F}}$ nad $X$ se říká, globální řezy.
• Pro inkluze otevřených množin $V\subseteq U$, souvisejícím morfismu $\operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$ se říká restrikční morfismus. Pro řez $s\in {\mathcal {F}}(U)$, jako pro restrikce zobrazení, obvykle naznačíme $s|_{V}=\operatorname {res} _{V}^{U}(s)$.

Předsvazky nad prostoru $X$ tvoří kategorii $PSh(X)$, kde morfismy mezy předsvazů jsou přirozené transformace.

Svazek

Vzhledem k danému předsvazu se přirozeně nabízí otázka, do jaké míry jsou jeho řezy nad otevřenou množinou $U$ specifikovány svými restrikcí na otevřené podmnožiny $U$. Svazek je předsvazek, jehož sekce jsou v technickém smyslu jednoznačně určeny svými restrikcí.

Axiomaticky je svaz předsvazem, který splňuje oba následující axiomy:

1. (Lokalita) Předpokládáme $U$ je otevřená množina, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ je otevřený pokrytí množiny $U$, kde $U_{i}\subseteq U$ pro všechny $i\in I$ a $s,t\in {\mathcal {F}}(U)$ jsou řezy. Kdyby $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ pro všechny $i\in I$, tak $s=t$.
2. (Slepovaní) Předpokládáme $U$ je otevřená množina, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ je otevřený pokrytí množiny $U$, kde $U_{i}\subseteq U$ pro všechna $i\in I$ a $\{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}$ je kolekce řezů. Kdyby každá dvojice řezů souvisela na průniku jejich doměnů, vlastně kdyby $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ pro všechny $i,j\in I$, poté existuje jedinečný řez $s\in {\mathcal {F}}(U)$ tak, že $s|_{U_{i}}=s_{i}$ pro všechny $i\in I$.