Isomorfisme

El grup d'arrels cinquenes de la unitat sota la multiplicació és isomorf al grup de rotacions del pentàgon regular respecte de la composició de rotacions.

En matemàtiques, un isomorfisme és un morfisme que admet un invers, que és també un morfisme.

Conseqüentment, un isomorfisme és una bijecció, ja que les relacions algebraiques entre els elements del conjunt d'arribada són les mateixes que els seus antecedents respectius, i l'estructura algebraica es conserva.

Un automorfisme és un isomorfisme d'una estructura a si mateixa. Un isomorfisme entre dues estructures és un isomorfisme canònic (un mapa canònic que és un isomorfisme) si només hi ha un isomorfisme entre les dues estructures (com és el cas de les solucions d'una propietat universal), o si l'isomorfisme és molt més natural (en algun sentit) que altres isomorfismes. Per exemple, per a tot nombre primer p, tots els cossos amb p elements són canònicament isomorfs, amb un isomorfisme únic. Els teoremes d'isomorfisme proporcionen isomorfismes canònics que no són únics.

Definició formal

Un isomorfisme es pot definit concisament com un homomorfisme bijectiu tal que la seva inversa és també un homomorfisme. És a dir:

Un isomorfisme entre dos conjunts ordenats $(P,\leq )$ i $(Q,\leq ')$ és una funció bijectiva ${\begin{array}{rrcl}h:P\to Q\\\end{array}}$ tal que: Per a tot $p_{1},p_{2}\in P$ es té que $p_{1}\leq p_{2}$ si i només si $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Si existeix un isomorfisme entre $(P,\leq )$ i $(Q,\leq ')$, llavors $(P,\leq )$ i $(Q,\leq ')$ s'anomenen isomorfes i la bijecció $h$ es coneix com isomorfisme entre $(P,\leq )$ i $(Q,\leq ')$. A més, $P$ i $Q$ reben el nom de similars entre sí.

Si $P=Q$, es diu que l'isomorfisme és un automorfisme. Es pot demostrar que donat un conjunt ben ordenat, l'únic automorfisme possible és la funció identitat.

Propietats en els ordres totals

Els isomorfismes en conjunts linealment ordenats tenen una relació d'equivalència, és a dir, cumpleixen la reflexivitat, la simetria i la transitivitat, és a dir:

Siguin $(A,\leq )$, $(B,\leq ')$ i $(C,\leq '')$ conjunts linealment ordenats, llavors: $(A,\leq )$ és isomorf a $(A,\leq )$. Si $(A,\leq )$ és isomorf a $(B,\leq ')$, llavors $(B,\leq ')$ és isomorf a $(A,\leq )$. Si $(A,\leq )$ és isomorfo a $(B,\leq ')$ i alhora, $(B,\leq ')$ és isomorf a $(C,\leq '')$ llavors $(A,\leq )$ és isomorf a $(C,\leq '')$.

Història i concepte

En el segle xx, es va precisar en matemàtiques la noció intuïtiva d'estructura, seguint la concepció d'Aristòtil de la matèria i la forma, segons la qual cada estructura és un conjunt X dotat de certes operacions (com la suma o el producte) o de certes relacions (com una ordenació) o certs subconjunts (com en el cas de la topologia), etc. En aquest cas, el conjunt X és la matèria i les operacions, relacions, etc., en ell definides, són la forma.

El descobrimient de Plató, que la forma és el que importa, es recull en matemàtiques amb el concepte d'isomorfisme. Una aplicació f:X→Y entre dos conjunts dotats del mateix tipus d'estructura és un isomorfisme quan cada element d'Y prové d'un únic element de X i f transforma les operacions, relacions, etc., que hi ha en X en les que hi ha en Y. Quan entre dues estructures hi ha un isomorfisme, ambdues són indistingibles, tenen les mateixes propietats, i qualsevol enunciat és simultàniament cert o fals en les dues. Per això en matemàtiques les estructures s'han de classificar llevat dels isomorfismes.

En el segle XX el biòleg i filòsof de la ciència austríac, Ludwig von Bertalanffy, va recuperar aquest concepte com a element en la formulació de la seva teoria general de sistemes. Per a aquest autor, existien un seguit de coincidències en l'evolució dels processos que es duen a terme en diferents camps del coneixement (la biologia, la demografia, la física, les ciències socials, etc.) que va denominar isomorfismes. Resultava important per al plantejament de la nova teoria, atès que «l'isomorfisme trobat entre diferents terrenys es basa en l'existència de principis generals de sistemes, d'una teoria general dels sistemes més o menys ben desenvolupada».

Isomorfisme parcial

Està definit com:

Un isomorfisme parcial entre dos conjunts ordenats $(P,\leq )$ i $(Q,\leq ')$ és una funció bijectiva ${\begin{array}{rrcl}h:X\to Q\\\end{array}}$ amb $X\subseteq P$ tal que per a tot $p_{1},p_{2}\in X$ es té que: $p_{1}\leq p_{2}$ si i només si $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Categories

De forma més general, en la teoria de les categories, un isomorfisme és un morfisme que té un invers a la dreta i un invers a l'esquerra.

• Invers a la dreta: si $f:A\rightarrow B$, llavors, existeix $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=I_{B}$
• Invers a l'esquerra: si $f:A\rightarrow B$, llavors, existeix $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=I_{A}$

Cal observar que, generalment, l'existència de l'invers a la dreta no comporta l'existència de l'invers a l'esquerra.

Conjunts isomorfs

Dos conjunts enllaçats per un isomorfisme s'anomenen isomorfs.

Des de molts punts de vista, dos conjunts isomorfs poden ser considerats idèntics. En efecte, normalment les propietats interessants d'un conjunt seran compartides per tots els seus conjunts isomorfs de la categoria.

Aplicacions

En àlgebra, es defineixen els isomorfismes per a totes les estructures algebraiques. Algunes s'estudien més específicament, per exemple:

• Isomorfisme lineal entre espais vectorials; s'especifiquen mitjançant matrius invertibles.
• Isomorfisme de grups entre grups; la classificació de classes d'isomorfismes de grups finits és un problema obert.
• Homomorfisme d'anells entre anells.
• Els isomorfismes de cossos són el mateix que els isomorfismes d'anells entre cossos: el seu estudi, i més específicament l'estudi dels automorfismes de cossos és una part important de la teoria de Galois.

Així com els autormorfismes d'una estructura algebraica forme un grup, els isomorfismes entre dues àlgebres que comparteixen una estructura comú formen un munt. Deixar que un isomorfisme particular identifiqui les dues estructures converteix aquest munt en un grup.

En anàlisi matemàtica, la transformada de Laplace és un isomorfisme que transforma equacions diferencials difícils de resoldre en equacions algebraiques més senzilles.

En teoria de grafs, un isomorfisme entre dos grafs G i H és un mapa bijectiu f dels vèrtexs de G als vèrtexs de H que preserva l'"estructura d'aresta" en el sentit que hi ha una aresta entre els vèrtexs u i v en G si i només si hi ha una aresta d'$f(u)$ a $f(v)$ en H. Vegi's isomorfisme de grafs.

En anàlisi matemàtica, un isomorfisme entre dos espais de Hilbert és una bijecció que preserva la suma, la multiplicació escalar i el producte interior.

En les primeres teories de l'atomisme lògic, Bertrand Russell i Ludwig Wittgenstein van teoritzar que la relació formal entre fets i proposicions verdaderes era isomòrfica. Un exemple d'aquesta línia de pensament es pot trobar en la Introducció a la Filosofia Matemàtica de Russell.

En cibernètica, el bon regulador o teorema de Conant-Ashby afirma que "tot bon regulador d'un sisteme ha de ser un model d'aquest sistema". Ja sigui regulat o autorregulat, cal un isomorfisme entre el regulador i les parts processadores del sistema.

Definició en teoria de categories

En teoria de categories, donada una categoria C, un isomorfisme és un morfisme $f:a\to b$ que té un morfisme invers $g:b\to a,$ és a dir, $f\circ g=1_{b}\wedge g\circ f=1_{a}.$ Per exemple, una aplicació lineal bijectiva és un isomorfisme entre espais vectorials, i una funció contínua bijectiva la inversa de la qual també és un isomorfisme entre espais topològics, sovint anomenat homeomorfisme.

Dues categories C i D són isomorfes si existeixen functors $F:C\to D\wedge G:D\to C$ que són mútuament inversos, és a dir, $F\circ G=1_{D}$ (el functor identitat en D) i $G\circ F=1_{C}$ (el functor identitat en C).

Isomorfisme vs. morfisme bijectiu

En una «categoria concreta» (grosso modo, una categoria els objectes de la qual són conjunts (potser amb estructura extra) i els morfismes de la qual són funcions preservadores d'estructura), com la categoria d'espais topològics o categories d'objectes algebraics (com la categoria de grups, la categoria d'anells i la categoria de mòduls), un isomorfisme ha de ser bijectiu sobre els conjunts subjacents. En les categories algebraiques (en concret, les categories de varietats en el sentit de l'àlgebra universal), un isomorfisme és el mateix que un homomorfisme que és bijectiu en els conjunts subjacents. No obstant això, hi ha categories concretes en les quals els morfismes bijectius no són necessàriament isomorfismes (com la categoria d'espais topològics).

Exemples

Logaritme i exponencial

Sigui $R^{+}$ el grup multiplicatiu dels nombres reals positius, i sigui $\mathbb {R}$ el grup additiu dels nombres reals.

La funció logaritme ${\displaystyle \log$ :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } satisfà $\log(xy)=\log x+\log y$ per a tot $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ per la qual cosa és un homomorfisme de grups. La funció exponencial ${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} satisfà $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ per a tot $x,y\in \mathbb {R} ,$ i per tant també és un homomorfisme.

Les identitats $\log \exp x=x$ i $\exp \log y=y$ mostren que $\log$ i $\exp$ són inverses l'una de l'altra. Com que $\log$ és un homomorfisme que té una inversa que també és un homomorfisme, $\log$ és un isomorfisme de grups.

La funció $\log$ és un isomorfisme que tradueix la multiplicació de nombres reals positius en suma de nombres reals. Aquesta facilitat permet multiplicat nombres reals utilitzant un regle i una taula de logartimes, o emprant un regle de càlcul amb escala logarítmica.

Enters del mòdul 6

Consideri's el grup $(\mathbb {Z} _{6},+),$, els enters del 0 al 5 amb suma mòdul 6. Consideri's també el grup $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ les parelles ordenades en què la coordenada x pot prendre els valors 0 o 1, i la coordenada y pot ser 0, 1 o 2, on la suma de la coordenada x és mòdul 2 i la suma de la coordenada y és mòdul 3.

Aquestes estructures són isomorfes respecte de la suma, seguint el següent esquema: $${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$$ o en general $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$

Per exemple, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ que es tradueix en l'altre sistema a $1+3=4.$.

Tot i que aquests dos grups "semblen" diferents en el sentit que els conjunts contenen elements diferents, són de fet isomorfs: les seves estructures són exactament les mateixes. Més en general, el producte directe de dos grups cíclics $\mathbb {Z} _{m}$ i $\mathbb {Z} _{n}$ és isomorf a $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ si i només si m i n són coprimers, segons el teorema xinès del residu.

Referències

Viccionari