Hexàgon

Hexàgon
Tipus	polígon i hexàtop
Forma de les cares	aresta (6)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Arestes	6;
Vèrtexs	6
Sèrie
	← pentàgon heptàgon →
Més informació
MathWorld	Hexagon

En geometria, un hexàgon correspon a qualsevol polígon de sis costats. Sovint, però, es fa servir aquest mot per denotar un hexàgon regular. Això és, un polígon de 6 costats on tots els costats i tots els angles són iguals. En aquest cas, els angles seran de 120°. El seu símbol de Schläfli és {6}. Per la seva forma serveix per designar França.^[1]

Hexàgon regular

Un hexàgon regular es defineix com un hexàgon que és alhora equilàter i equiangular. El seu angle intern és un terç d'un cercle, igual a 120°. El símbol de Schläfli denota aquest polígon com a $\{6\}$ .^[2] Tanmateix, l'hexàgon regular també es pot considerar com un tall dels vèrtexs d'un triangle equilàter, que també es pot denotar com $\mathrm {t} \{3\}$ .

Un hexàgon regular és bicèntric, és a dir, que és tant cíclic (té un cercle circumscrit) com tangencial (té un cercle inscrit). La longitud comuna dels costats és igual al radi del cercle circumscrit o circumcercle, que és igual a ${\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ multiplicat per l'apotema (radi del cercle inscrit).

Mesura

Les diagonals més llargues d'un hexàgon regular, que connecten vèrtexs diametralment oposats, tenen el doble de la longitud d'un costat. A partir d'això es pot veure que un triangle amb un vèrtex al centre de l'hexàgon regular i que comparteix un costat amb l'hexàgon és equilàter, i que l'hexàgon regular es pot dividir en sis triangles equilàters.

El diàmetre màxim (que correspon a la diagonal llarga de l'hexàgon), D, és el doble del radi màxim o circumradius, R, que és igual a la longitud del costat, t. El diàmetre mínim o el diàmetre del cercle inscrit (separació de costats paral·lels, distància entre plans, diagonal curta o alçada quan descansa sobre una base plana), d, és el doble del radi mínim o inradi, r. Els màxims i mínims estan relacionats pel mateix factor: ${\begin{aligned}r&={\frac {d}{2}}=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t\\d&={\frac {\sqrt {3}}{2}}D\\\end{aligned}}$

L'àrea d'un hexàgon regular ${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}&&=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&\approx 2.598R^{2}&&\approx 3.464r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}&&={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}&&\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}$

Per a qualsevol polígon regular, l'àrea també es pot expressar en termes de l'apotema a i el perímetre p. Per a l'hexàgon regular, aquests vénen donats per a = r, i p ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ , so

{\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}

L'hexàgon regular omple la fracció ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ del seu cercle circumscrit. L'hexàgon regular omple la fracció ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ del seu cercle circumscrit.

Si un hexàgon regular té els vèrtexs successius A, B, C, D, E, F i si P és qualsevol punt de la circumferència circumscrita entre B i C, aleshores PE + PF = PA + PB + PC + PD.

De la relació entre el circumradi i el radi interior, es dedueix que la relació alçada-amplada d'un hexàgon regular és d'1:1,1547005; és a dir, un hexàgon amb una diagonal llarga d'1,0000000 tindrà una distància de 0,8660254 o cos(30°) entre costats paral·lels.

Punt en el pla

Per a un punt arbitrari en el pla d'un hexàgon regular amb circumradi $R$ , les distàncies del qual al centroide de l'hexàgon regular i els seus sis vèrtexs són $L$ i $d_{i}$

respectivament, tenim^[3]

d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),

d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).

Si $d_{i}$ són les distàncies des dels vèrtexs d'un hexàgon regular fins a qualsevol punt de la seva circumferència, aleshores ^[3]

\left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.

Construcció

Una animació pas a pas de la construcció d'un hexàgon regular utilitzant compàs i regla, donada pels Elements d'Euclides, Llibre IV, Proposició 15: això és possible com a 6

=

2 × 3, un producte d'una potència de dos i nombres primers de Fermat diferents.

Quan es dóna la longitud del costat AB, dibuixar un arc circular des del punt A i el punt B dóna la intersecció M, el centre del cercle circumscrit. Transfereix el segment de recta AB quatre vegades sobre el cercle circumscrit i connecta els punts de cantonada.

Simetria

Un hexàgon regular té sis simetries rotacionals (simetria rotacional d'ordre sis) i sis simetries de reflexió (sis línies de simetria), que formen el grup dièdric D₆.^[4] Hi ha 16 subgrups. N'hi ha 8 fins a l'isomorfisme: ell mateix (D₆), 2 dièdric: (D_3, D₂), 4 cíclics: (Z₆, Z₃, Z₂, Z₁) i el trivial (e)

Aquestes simetries expressen nou simetries diferents d'un hexàgon regular. John Conway les etiqueta amb una lletra i un ordre de grup^[5] r12 és simetria completa i a1 no té simetria. p6, un hexàgon isogonal construït per tres miralls pot alternar arestes llargues i curtes, i d6, un hexàgon isotoxal construït amb arestes iguals, però amb els vèrtexs alternant dos angles interns diferents. Aquestes dues formes són duals l'una de l'altra i tenen la meitat de l'ordre de simetria de l'hexàgon regular. Les formes i4 són hexàgons regulars aplanats o estirats al llarg d'una direcció de simetria. Es pot veure com un rombe allargat, mentre que d2 i p2 es poden veure com a estels allargats horitzontalment i verticalment. Els hexàgons g2, amb costats oposats paral·lels, també s'anomenen paral·lelegs hexagonals.

Cada simetria de subgrup permet un o més graus de llibertat per a formes irregulars. Només el subgrup g6 no té graus de llibertat, però es pot veure com a aresta dirigida.

Els hexàgons de simetria g2, i4 i r12, com a paral·lelegs, poden tessel·lar el pla euclidià per translació. Altres formes hexagonals poden tesel·lar el pla amb diferents orientacions.

p6m (*632)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p31m (3*3)	pmg (22*)		pg (××)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1
Dih₆	Dih₂	Z₂	Dih₁			Z₁

Arrels del grup A2	Arrels del grup G2

Les 6 arrels del grup de Lie simple A2, representades per un diagrama de Dynkin , tenen un patró hexagonal regular. Les dues arrels simples tenen un angle de 120° entre elles.

Les 12 arrels del grup de Lie excepcional G2, representades per un diagrama de Dynkin també tenen un patró hexagonal. Les dues arrels simples de dues longituds tenen un angle de 150° entre elles.

Tessel·lacions

Igual que els quadrats i els triangles equilàters, els hexàgons regulars encaixen sense cap espai per "enrajolar el pla" (tres hexàgons que es troben a cada vèrtex), i per tant són útils per construir tessel·lacions.^[6] Les cel·les d'un rusc bresca són hexagonals per aquesta raó i perquè la forma fa un ús eficient de l'espai i dels materials de construcció. El diagrama de Voronoi d'una xarxa triangular regular és la tessel·lació de bresca d'hexàgons.

Propietats

Donat un hexàgon regular amb un costat de longitud $a\,\!$ :

La seva àrea correspon a:

A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\simeq 2.59808a^{2}.

El seu perímetre és:

6a\,\!

La seva apotema és^[7]

a_{p}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}

El seu diàmetre màxim és $2a\,\!$

El seu diàmetre mínim és: $a{\sqrt {3}}\,\!$ .

Els hexàgons regulars es poden ajustar uns amb els altres (sense deixar espais) per formar tessel·lacions. La natura ens ofereix aquestes construccions de manera natural. Per exemple, en les bresques fetes per les abelles. Matemàticament, la construcció de les bresques fetes per les abelles correspon als diagrames de Voronoi construïts a partir dels vèrtexs de triangles equilàters.

No existeix cap sòlid platònic format d'hexàgons regulars. En canvi, existeixen sòlids arquimedians. Són el tetraedre truncat, l'octaedre truncat i l'icosaedre truncat (les pilotes de futbol corresponen a icosaedres truncats, tot i que a causa de la pressió de l'aire i l'elasticitat del material tenen una forma més arrodonida), el cubooctaedre truncat i el icosidodecaedre truncat.

Els nombres hexagonals són un tipus de nombres (els anomenats nombres figurats) que es poden representar per un conjunt de punts formant hexàgons regulars.

Construcció de l'hexàgon

Els hexàgon regulars es poden construir amb regle i compàs. Euclides en descriu un mètode en la proposició 15 del llibre IV dels seus Elements (300 aC). La figura en mostra la construcció.

Dissecció

Projecció de 6 cubs	Dissecció de 12 rombes

Coxeter afirma que cada zonògon (un 2 m -gon els costats oposats del qual són paral·lels i de la mateixa longitud) es pot disseccionar en ¹⁄₂m (m − 1) paral·lelograms.^[8] En particular, això és cert per a polígons regulars amb un nombre uniforme de costats, en aquest cas els paral·lelograms són tots rombes. Aquesta descomposició d'un hexàgon regular es basa en una projecció de polígon de Petrie d'un cub, amb 3 de 6 cares quadrades. Altres paral·lelogons i direccions projectives del cub es disseccionen dins de quadrats rectangulars.

Dissecció d'hexàgons en tres rombes i paral·lelograms
2D	Rombes	Paral·lelograms

	Regular {6}	Paral·lelògons hexagonals
3D	Cares quadrades		Cares rectangulars

	Cub		Ortoedre

Polígons i tessel·lacions relacionades

Un hexàgon regular té el símbol de Schläfli {6}. Un hexàgon regular és una part del mosaic hexagonal regular, {6,3}, amb tres cares hexagonals al voltant de cada vèrtex.

Un hexàgon regular també es pot crear com un triangle equilàter truncat, amb símbol de Schläfli t{3}. Vist amb dos tipus (colors) d'arestes, aquesta forma només té simetria _D3.

Un hexàgon truncat, t{6}, és un dodecàgon, {12}, que alterna dos tipus (colors) d'arestes. Un hexàgon alternat, h{6}, és un triangle equilàter, {3}. Un hexàgon regular es pot estelar amb triangles equilàters a les seves arestes, creant un hexagrama. Un hexàgon regular es pot disseccionar en sis triangles equilàters afegint-hi un punt central. Aquest patró es repeteix dins del mosaic triangular regular.

Un hexàgon regular es pot estendre fins a fer-se un dodecàgon regular afegint-hi quadrats i triangles equilàters alterns al seu voltant. Aquest patró es repeteix dins del mosaic rombitrihexagonal.

Regular {6}	Truncat t{3} = {6}	Triangles hipertruncats			Estel·lat Figura estel·lar 2{3}	Truncat t{6} = {12}	Alternat h{6} = {3}

Creuat hexàgon	Un hexàgon còncau	Un hexàgon que s'autointerseca (polígon estrellat)	Ampliat Central {6} a {12}	Un hexàgon oblic, dins d’un cub	Disseccionat {6}	projecció Octàedre	Gràfic complet

Hexàgons que s'autocreuen

Hi ha sis hexàgons que s'autocreuen amb la disposició dels vèrtexs de l'hexàgon regular:

Hexàgons que s'autointersequen amb vèrtexs regulars
Dih ₂			Dih ₁		Dih ₃
Figura de vuit	Inversió central	Unicursal	Cua de peix	Doble cua	Triple cua

Estructures hexagonals

Des de lrs bresques de les abelles fins a la Calçada del Gegant, els patrons hexagonals són freqüents a la natura a causa de la seva eficiència. En una quadrícula hexagonal, cada línia és tan curta com sigui possible si es vol omplir una àrea gran amb el menor nombre d'hexàgons possible. Això significa que les bresques requereixen menys cera per construir-se i guanyen molta resistència sota compressió.

Els hexàgons irregulars amb cares oposades paral·leles s'anomenen paral·lelògons i també poden tesel·lar el pla per translació. En tres dimensions, els prismes hexagonals amb cares oposades paral·leles s'anomenen paral·leloedres i poden tessel·lar l'espai tridimensional per translació.

Tesel·lacions de prismes hexagonals
Formulari	Tessel·lació hexagonal	Bresca prismàtica hexagonal
Regular
Paral·lelogonal

Tessel·lacions per hexàgons

A més de l'hexàgon regular, que determina una tessel·lació única del pla, qualsevol hexàgon irregular que satisfaci el criteri de Conway enteixarà el pla.

Hexàgon inscrit en una secció cònica

El teorema de Pascal (també conegut com el Teorema de l'Hexagrammum Mysticum) estableix que si un hexàgon arbitrari s'inscriu en qualsevol secció cònica, i s'estenen parells de costats oposats fins que es troben, els tres punts d'intersecció es trobaran en una línia recta, la "recta de Pascal" d'aquesta configuració.

Hexàgon cíclic

L’hexàgon de Lemoine és un hexàgon cíclic (inscrit en un cercle) amb vèrtexs donats per les sis interseccions de les arestes d'un triangle i les tres rectes paral·leles a les arestes que passen pel seu punt simèdic.

Si els costats successius d'un hexàgon cíclic són a, b, c, d, e, f, aleshores les tres diagonals principals es tallen en un sol punt si i només si ace = bdf.

Si, per a cada costat d'un hexàgon cíclic, els costats adjacents s'estenen fins a la seva intersecció, formant un triangle exterior al costat donat, aleshores els segments que connecten els circumcentres dels triangles oposats són concurrents.^[9]

Si un hexàgon té vèrtexs a la circumferència circumscrita d'un triangle agut en els sis punts (inclosos tres vèrtexs del triangle) on les altituds esteses del triangle es troben amb la circumferència circumscrita, aleshores l'àrea de l'hexàgon és el doble de l'àrea del triangle. ^{:p. 179}

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Hexàgon

↑ Block de Behar, Lisa. Borges, the passion of an endless quotation (en anglès). SUNY Press, 2003, p.162. ISBN 0791455556.
↑ Wenninger, Magnus J. Cambridge University Press. Polyhedron Models, 1974, p. 9. ISBN 9780521098595 [Consulta: 6 novembre 2015]. .
1 2 Meskhishvili, Mamuka «Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids». Communications in Mathematics and Applications, 11. Arxivat de l'original el 2021-04-22. DOI: 10.26713/cma.v11i3.1420 [Consulta: 26 juny 2026].
↑ Johnston, Bernard L.; Richman, Fred. CRC Press. Numbers and Symmetry: An Introduction to Algebra, 1997. ISBN 978-0-8493-0301-2. Arxivat 2025-11-02 a Wayback Machine..
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítol 20, Símbols de Schaefli generalitzats, Tipus de simetria d'un polígon pàgines 275–278)
↑ Dunajski, Maciej. Geometry: A Very Short Introduction (en anglès). Oxford University Press, 2022. ISBN 978-0-19-968368-0. Arxivat 2025-08-12 a Wayback Machine.
↑ Sapiña, R. «Calculadora de l'àrea i perímetre d'un hexàgon regular» (en castellà). Problemas y ecuaciones. Arxivat de l'original el 2020-06-22. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 20 juny 2020].
↑ Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
↑ Dergiades, Nikolaos «Còpia arxivada». Forum Geometricorum, 14, 2014, p. 243–246. Arxivat de l'original el 2014-12-05 [Consulta: 17 novembre 2014].

Viccionari

[1] Block de Behar, Lisa. Borges, the passion of an endless quotation (en anglès). SUNY Press, 2003, p.162. ISBN 0791455556.

[2] Wenninger, Magnus J. Cambridge University Press. Polyhedron Models, 1974, p. 9. ISBN 9780521098595 [Consulta: 6 novembre 2015]. .

[Mamuka-3] 1 2 Meskhishvili, Mamuka «Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids». Communications in Mathematics and Applications, 11. Arxivat de l'original el 2021-04-22. DOI: 10.26713/cma.v11i3.1420 [Consulta: 26 juny 2026].

[4] Johnston, Bernard L.; Richman, Fred. CRC Press. Numbers and Symmetry: An Introduction to Algebra, 1997. ISBN 978-0-8493-0301-2. Arxivat 2025-11-02 a Wayback Machine..

[5] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítol 20, Símbols de Schaefli generalitzats, Tipus de simetria d'un polígon pàgines 275–278)

[6] Dunajski, Maciej. Geometry: A Very Short Introduction (en anglès). Oxford University Press, 2022. ISBN 978-0-19-968368-0. Arxivat 2025-08-12 a Wayback Machine.

[pye-7] Sapiña, R. «Calculadora de l'àrea i perímetre d'un hexàgon regular» (en castellà). Problemas y ecuaciones. Arxivat de l'original el 2020-06-22. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 20 juny 2020].

[8] Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141

[9] Dergiades, Nikolaos «Còpia arxivada». Forum Geometricorum, 14, 2014, p. 243–246. Arxivat de l'original el 2014-12-05 [Consulta: 17 novembre 2014].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Polígons
Regular Llista
1–10 costats	Monògon Dígon Triangle Equilàter Isòsceles Quadrilàter Quadrat Rectangle Rombe Paral·lelogram Trapezi Deltoide Pentàgon Hexàgon Heptàgon Octàgon Enneàgon Decàgon
11–20 costats	Hendecàgon Dodecàgon Tridecàgon Tetradecàgon Pentadecàgon Hexadecàgon Heptadecàgon Octodecàgon Enneadecàgon Icosàgon
21–100 costats (seleccionats)	Icosídigon (22) Icositetràgon (24) Icosihexàgon (26) Icosioctàgon (28) Triacontàgon (30) Triacontadígon (32) Triacontatetràgon (34) Tetracontàgon (40) Tetracontadígon (42) Tetracontaoctàgon (48) Pentacontàgon (50) Hexacontàgon (60) Hexacontatetràgon (64) Heptacontàgon (70) Octacontàgon (80) Enneacontàgon (90) Enneacontahexàgon (96) Hectògon (100)
>100 costats	120-gon 257-gon 360-gon Xiliàgon (1,000) Miriàgon (10,000) 65537-gon Megàgon (1,000,000) Apeirògon (∞)
Polígons estelats (5–12 costats)	Pentagrama Hexagrama Heptagrama Octagrama Enneagrama Decagrama Hendecagrama Dodecagrama