Géométrie, symétries et physique. Introduction et chapitre I : Les groupes

Les notions de géométrie et de symétrie sont d’une importance centrale en physique. Elles sont non seulement cruciales pour l’étude de l’espace-temps, mais aussi utile, voire nécessaire, pour analyser certains espaces abstraits tels que l’espace des phases ou les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Si vous n’avez aucune idée de ce que sont ses espaces abstraits, ce n’est pas un problème : nous en parlerons dans de futurs chapitres.

Pour le moment, nous pouvons en fait oublier à peu près tout ce que l’on connait en physique ou en mathématique : on va repartir de zéro (ou presque). Je me dois tout de même de mettre en garde le lecteur : une certaine aisance avec les mathématiques est assurément nécessaire. On ne va pas rentrer dans les détails techniques (loin de là) mais on n’hésitera pas non plus à utiliser des équations quand ce sera utile (et se le serra souvent). Si vous avez une idée (même vague) de notions telles que : vecteurs, nombres complexes, dérivées et intégrales, alors vous ne devriez avoir aucun problème pour comprendre ce qui va suivre.

Une autre particularité de notre voyage vers les confins de la physique est que nous allons commencer de façon très abstraite avec la notion de groupe. Avec cette notion abstraite et très générale, nous allons pouvoir définir les notions de scalaires et de vecteurs (d’espace vectoriel donc) puis construire l’espace euclidien, ce qui nous amènera ensuite à définir l’espace-temps de Galilée, puis l’espace-temps de la relativité restreinte avant de nous attaquer à la relativité générale. Cela nous permettra de mieux comprendre des phénomènes comme les trous noirs, les particules fondamentales, le boson de Higgs, etc.

Toutefois, ce sera pour plus tard. Notre voyage commence par l’une des notions les plus importantes des mathématiques : la notion de groupe.

On veut pouvoir parler de manière abstraite et générale de différentes structures mathématiques, ces structures peuvent être définies à partir d’ensembles d’objets mathématiques comme des nombres, des vecteurs, des tenseurs, des fonctions, etc. ainsi que des opérations comme l’addition, la multiplication, la composition de fonctions, etc. De manière générale, on a des objets mathématiques et des opérations qui leur sont associés.

On va donc définir un groupe comme étant composé de deux ingrédients :

• Un ensemble abstrait, fini ou infini, d’objets mathématiques. Nous allons noter cet ensemble par une lettre capitale, en général, on utilisera la lettre G.

• Une opération binaire, c'est-à-dire une opération qui, à partir de deux (d’où la qualification de binaire) éléments a, b inclus dans G, nous permet d’en construire un troisième, aussi inclus dans G. On va noter cette opération binaire avec un point : « ⋅ », par exemple : a ⋅ b = c sauf lorsque l’on parlera de certains cas précis, cette opération peut notamment être une addition : dans ce cas, on utilisera évidemment le symbole +. La notation « ⋅ » est utilisée pour penser de façon abstraire et générale, elle ne doit pas nous faire croire qu’il s’agisse nécessairement d’une multiplication !

Un groupe composé d’un ensemble G et d’une opération ⋅ est noté (G, ⋅) ou parfois tout simplement G lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté possible.

L’opération binaire doit respecter certaines règles, que nous allons étudier dans un instant. Donnons d’abord quelques exemples et contre-exemples d’opération binaire :

• Exemples : l’addition est une opération binaire sur l’ensemble des nombres naturels ℕ, la multiplication est une opération binaire sur les nombres réels ℝ1. Toutefois, les naturels avec l’addition ne forment pas un groupe (ce qui sera clair dans ce qui suit).

• Contre-exemples : la soustraction n’est pas une opération binaire sur les nombres naturels ℕ parce que (par exemple) 2 - 4 n’est pas positif, donc pas un naturel ; la division n’est pas une opération binaire sur ℝ puisque la division par zéro n’est pas définie.

On va maintenant analyser les règles que doivent suivre l’opération binaire :

• Associativité : prenons trois éléments du groupe et appelons-les : a, b et c (ils peuvent être trois éléments différents, mais ce n’est pas obligatoire). Le critère d’associativité est que :

  \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

  On peut donc mettre les parenthèses comme on préfère, ou même les enlever complètement. Un avantage de ce critère est qu’il nous permet d’écrire : a⋅b⋅c sans ambiguïté.

  Exemples et contre-exemples : l’addition et la multiplication sur ℝ sont des opérations associatives. La soustraction (sur ℝ) et la division (sur ℝ sauf zéro) ne sont pas associatives, par exemple (4 - 1) - 2 n’est pas égal à 4 - (1 - 2).

• Élément neutre : tout groupe G se doit d’inclure un élément qu’on appelle l’élément neutre et qu’on va noter « e » tel que si on choisit n’importe quel élément a du groupe G :

  \(e \cdot a = a \cdot e = a\)

  Pour l’addition (sur ℝ), l’élément neutre est 0 (x + 0 = 0 + x = x quel que soit x). Pour la multiplication (aussi sur ℝ), l’élément neutre est 1.

• Élément symétrique : pour tout élément a du groupe G, il existe un élément b de G tel que :

  \(a \cdot b = b \cdot a = e\)

  où e est bien sûr l’élément neutre du groupe. L’élément symétrique de a est souvent noté a^-1 sauf si l’opération du groupe est en réalité une addition, dans ce cas l’élément symétrique de a est noté -a.

Comme vous l’avez peut-être remarqué, l’addition et la multiplication peuvent être des opérations de groupe, mais ce n’est pas le cas pour la soustraction et la division. Soustraire, c’est ajouter l’élément symétrique de l’addition, par exemple : 6 - 3 = 6 + (-3). Diviser, c’est faire le produit avec l’élément symétrique de la multiplication, par exemple : 6 / 3 = 6 ⋅ (1/3). L’addition et la multiplication sont plus « fondamentales » que la division et la soustraction.

On peut déjà donner quelques exemples de groupes : (ℤ,+), (ℚ,+) et (ℝ,+) sont des groupes, ainsi que (ℚ\{0}, ⋅) et (ℝ\{0}, ⋅). La notation « \{0} » veut tout simplement dire que l’on exclut le nombre zéro du groupe, parce que zéro n’a pas d’élément symétrique : on ne peut pas diviser par zéro !

Les exemples de groupes que nous avons donnés sont des ensembles de nombres combinés avec l’addition ou la multiplication. Mais, comme nous l’avons noté précédemment, la notion de groupe est bien plus générale. Elle montre en particulier toute sa puissance avec la notion de symétrie.

Pour illustrer, nous allons prendre un exemple qui nous servira de fil rouge pour les prochains chapitres : le groupe de symétrie U(1). C’est le groupe des rotations autour de l’origine dans le plan.

Dans cette approche, les éléments du groupe sont vus comme des transformations : rotations, translations, permutations, etc. et l’opération du groupe correspond à la combinaison de deux transformations. Prenons l’exemple de U(1) et notons les éléments de ce groupe par R(θ) où θ est l’angle de rotation, alors une expression comme : R(θ) R(φ) veut dire : « faire une rotation avec un angle φ puis un angle θ ». Passons maintenant en revue les règles :

• Associativité. On a ici trois rotations, avec des angles θ, φ et ψ. L’associativité veut dire qu’on peut mettre les parenthèses (ici des crochets pour la lisibilité) comme on veut, ou même les enlever complètement :

  \([ R(\theta) R(\phi) ] R(\psi) = R(\theta) [ R(\phi) R(\psi) ]\)

• Élément neutre. C’est tout simplement la rotation d’un angle de zéro. Cela correspond à l’intuition que combiner une rotation d’un angle θ avec une rotation d’un angle de zéro est équivalent à faire une rotation d’un angle θ :

  \(R(\theta) R(0) = R(0) R(\theta) = R(\theta)\)

• Élément symétrique. C’est la rotation d’un angle -θ :

  \(R(\theta) R(-\theta) = R(-\theta) R(\theta) = R(0)\)

De manière générale, lorsque l’on parle de symétries et de transformations, il est tout à fait naturel d’avoir la transformation « identité » (qui ne fait rien), que pour toute transformation, il existe une transformation inverse, et que l’on puisse les grouper comme on veut. Ce qui correspond aux critères pour avoir un groupe.

Le lien entre groupe et symétrie est la raison (ou du moins une des raisons) pour laquelle on n’impose pas, dans la définition d’un groupe, que l’opération de groupe soit commutative. Cela veut dire que si a et b sont des éléments d’un groupe G, ce n’est pas obligatoirement vrai que a ⋅ b = b ⋅ a. Le contre-exemple le plus simple est le groupe des rotations dans l’espace tridimensionnel autour de l’origine, que l’on note SO(3)2. L’ordre des rotations — qui peuvent être autour d’axes différents — a de l’importance !

Les groupes pour lesquels l’opération est commutative, c'est-à-dire les groupes pour lesquels a ⋅ b = b ⋅ a est toujours vrai, sont appelés des groupes abéliens, en hommage au mathématicien Niels Henrik Abel, ou parfois plus simplement groupes commutatifs.

Abel était contemporain d’un autre mathématicien de talent, nommé Évariste Galois. Tous deux ont révolutionné les mathématiques et ont posé les bases de la théorie des groupes, et tous deux sont morts tragiquement jeune. Abel est mort de la tuberculose à seulement 26 ans, tandis que Galois est mort encore plus jeune, à l’âge de 20 ans, lors d’un duel au pistolet. La définition moderne de groupe est donnée pour la première fois quelques décennies plus tard par un autre mathématicien, Walther von Dyck, qui lui n’est pas mort jeune. Ouf !

Les éléments d’un groupe peuvent être vus comme des transformations qui peuvent laisser certains objets symétriques invariants. Par exemple, un cercle centré autour de l’origine est invariant sous l’action de U(1). Il faut donc définir ce que cela veut dire pour un groupe G d’agir sur un ensemble E. Il y a deux critères :

• L’élément neutre e de G « ne fait rien », c'est-à-dire que si x est un élément de E :

  \(e \cdot x = x\)

  Notez que par convention, on écrit l’action comme une multiplication et pas comme une fonction, donc a⋅x et non pas a(x) pour dire que a agit sur x. Ce n’est qu’une convention, mais ce sera utile plus tard.

• L’action de groupe doit être compatible avec l’opération de groupe :

  \(a \cdot (b \cdot x) = (a \cdot b) \cdot x\)

où a et b sont des éléments de G, x est un élément de E. Attention que ce n’est pas la même chose que l’associativité ! Le ⋅ dans a⋅b est une opération de groupe alors celui dans b⋅x est une action de groupe, ce sont des opérations différentes ! Toutefois, on peut les noter de la même façon sans risque de se tromper grâce justement à ce critère de compatibilité.

Mais si l’action de groupe est (ou ressemble à) une multiplication, serait-il possible d’écrire x⋅a au lien de a⋅x ? La réponse est oui, et cela définit l’action à droite (la définition précédente étant l’action à gauche). On a alors comme critères :

D'accord, mais pourquoi s'embête-t-on avec tout ça ? La réponse viendra plus tard lorsque l’on étudiera en détail les symétries de l’espace (et de l’espace-temps). Toutefois, on peut déjà mentionner une propriété plutôt cool (et utile !) qui est que si on a déjà défini une action de groupe à gauche, alors on peut définir une action de groupe à droite comme ceci :

Par exemple, pour le groupe U(1), on peut voir l’action à gauche et l’action à droite comme des rotations dans le sens contraire l’un de l’autre. C’est utile quand on veut faire une distinction entre transformation active (la position d’un objet change par rapport à un certain système de coordonnées) et transformation passive (l’objet ne bouge pas, mais notre système de coordonnées est transformé).

Ce qui est important dans un groupe, c’est sa structure qui est donnée par les relations entre les éléments du groupe par l’opération de groupe. Deux groupes qui seraient a priori différents, mais qui ont la même structure, seront considérés comme le « même groupe ».

Commençons par quelque chose de moins strict, mais non moins utile. Prenons deux groupes G et H, et prenons une fonction f qui associe à chaque élément g de G un élément f(g) de H. On va temporairement noter les opérations de groupe de G et H par des symboles différents pour éviter les confusions, l’opération de groupe G va être noté ⋅ et celle de H va être noté *. Supposons donc, que pour tous éléments a et b de G :

alors, on voit que l’opération de groupe de G est « transportée » par f dans H. En particulier, la fonction f —si elle respecte ce critère— doit envoyer l’élément neutre de G vers l’élément neutre de H : f(e_G) = e_H où e_G et e_H sont les éléments neutres de G et H respectivement. Une fonction qui respecte ce critère est appelé un homomorphisme. Ce nom vient de « homomorphe », formé de homo- (semblable) et -morphe (forme) : une fonction qui conserve la forme.

Un exemple valant mieux qu’un long discours, prenons un exemple classique ! On a les groupes (ℝ, +) et (ℝ^>0,⋅), c'est-à-dire le groupe des nombres réels avec l’addition et le groupe des nombres réels strictement positifs (>0) avec la multiplication. Notre homomorphisme est la fonction exponentielle ! En effet, on a :

C’est d’ailleurs une des grandes qualités de l’exponentielle : sa capacité à passer d’une somme à un produit ou inversement (avec le logarithme). Cela nous sera très utile plus tard.

Maintenant, un peu de nomenclature ! C’est toujours utile pour briller dans un diner. Si nos deux groupes sont en fait le même groupe, donc si f est une fonction de G dans G, alors notre homomorphisme est appelé un endomorphisme. Si la fonction f est bijective (si chaque élément de l’un ou l’autre groupe est lié par f à un et un seul élément de l’autre groupe), alors on dit qu’on a un isomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme.

La notion d’isomorphisme est très forte, s’il existe un isomorphisme entre les groupes G et H, alors ils ont exactement la même structure. On note cela mathématiquement :

ou parfois même G = H, sauf si faire la distinction entre les groupes est utile. Notons que la fonction exponentielle de ℝ vers ℝ^>0 est bijective, on a donc un isomorphisme entre (ℝ, +) et (ℝ^>0,⋅), aussi étrange que cela puisse paraître : l’addition avec les réels a la même structure que la multiplication avec les réels positifs !

Il y a une dernière notion technique à étudier avant de pouvoir s’amuser à construire différents groupes : la notion de produit direct entre deux groupes. L’idée est de pouvoir combiner deux groupes G et H pour en faire un groupe « combiné » que l’on va noter G × H. Pour illustrer avec un exemple : si j’ai un groupe de translations et un groupe de rotations, je peux créer avec le produit direct un groupe qui contient des translations, des rotations, et des transformations qui combinent translations et rotations.

Si g est un élément de G et h un élément de H, les éléments de G × H sont tout simplement noté (g, h). C’est ce qu’on appelle un couple : un objet mathématique composé de deux autres objets. L’ordre dans un couple a son importance : (g,h) et (h,g) sont différents objets.

L’opération de groupe de G × H se définit facilement :

où g₁ et g₂ sont des éléments de G, h₁ et h₂ sont des éléments de H.

Un exemple simple pour illustrer : ℝ × ℝ avec l’addition (parfois noté ℝ²) :

Nous verrons dans de prochains chapitres d’autres exemples intéressants de produits directs de groupes.

Si je regarde uniquement dans l’ensemble G × H les éléments de la forme : (g, e) où g est un élément de G et e est l’élément neutre de H, alors j’ai un groupe qui « vit » à l’intérieur de G × H, et ce groupe est tout simplement le groupe G lui-même. Le même raisonnement s’applique aux éléments de la forme (e,h) où h est un élément de H et e est l’élément neutre de G. Rappelons que l’on considère que deux groupes ayant la même structure sont en réalité le même groupe ! Dans notre exemple précédent (ℝ²), on peut considérer les éléments de la forme (x, 0) comme étant identiques aux nombres réels x, c'est-à-dire x = (x, 0). Cela marche dans l’autre sens aussi, on peut identifier x = (0, x), mais on ne peut pas faire les deux simultanément ! Sinon, on aurait x = (x, 0) = (0, x) ce qui serait absurde dans ℝ². L’idée est plutôt de voir qu’il existe deux « copies » de ℝ dans ℝ², mais il faut les distinguer quand on regarde ℝ² comme un tout.

Cette notion de groupe dans un autre groupe porte un nom : c’est le concept de sous-groupe. Un groupe est toujours sous-groupe de lui-même, et il existe un groupe (le groupe qui contient uniquement l’élément neutre) qui est sous-groupe de tous les groupes qui existent. Comme ces deux sous-groupes ne sont pas très intéressants, on va appeler tout sous-groupe qui n’entre pas dans l’une de ces catégories un sous-groupe propre.

Il existe une catégorie particulière de sous-groupes qui ont la particularité d’être « invariant » sous une action de groupe particulière qu’on appelle la conjugaison. La conjugaison est un automorphisme puisque l’on parle de l’action d’un groupe G sur lui-même, et elle définit comme ceci :

où g⋅x est l’action (à gauche) de g sur x, x et g sont tous deux éléments du même groupe G, g ^-1 est l’élément symétrique de g.

Prenons donc un sous-groupe H du groupe G. Si pour tout élément h de H et pour tout élément g de G, on a que g h g ^-1 est un élément de H (la conjugaison ne le fait pas « sortir » de son sous-groupe) alors le sous-groupe est appelé un sous-groupe normal.

En passant, la notion de conjugaison peut paraître arbitraire et inutile, mais elle deviendra plus intuitive lorsque nous aborderons l’algèbre linéaire. Dans ce cas, comme nous le verrons, la conjugaison pourra être interprétée comme un changement de coordonnées ! Un sous-groupe normal est donc invariant lorsque l’on « change de point de vue ».

Comme nous l’avons vu, un groupe qui peut être « factorisé », qui peut donc s’écrire comme le produit direct de deux groupes, contient obligatoirement des sous-groupes propres. Cependant, l’inverse n’est pas vrai ! Certains groupes ont des sous-groupes propres, mais ne sont pas décomposables. Ceci nous amène naturellement à la notion de groupe simple. Les groupes simples sont ceux qui n’ont aucun sous-groupe propre normal. Tout simplement3. Ils sont à la théorie des groupes ce que les éléments sont au tableau périodique, ou ce que les particules élémentaires sont à la physique. Ils sont les briques fondamentales de la théorie des groupes.

La plupart des groupes qui vont nous intéresser sont des groupes infinis (c'est-à-dire qu’ils contiennent un nombre infini d’éléments) et continus (c'est-à-dire qu’ils peuvent être paramétrés par des nombres réels). L’exemple le plus simple est le groupe U(1), paramétré par un nombre qui est l’angle de rotation. De tels groupes sont appelés des groupes de Lie et sont absolument essentiels en physique moderne.

On va garder ça pour de futurs chapitres. Pour le moment, on va se concentrer sur les groupes finis, parce qu’ils sont plus simples et sont non moins intéressants.

Le groupe fini le plus simple est appelé le groupe trivial et ne contient qu’un seul élément : l’élément neutre. La vie dans le groupe trivial n’est pas très passionnante, mais c’est un groupe en bonne et due forme. C’est le seul groupe d’ordre 1 (l’ordre d’un groupe étant le nombre d’éléments de ce groupe). Il est aussi sous-groupe de tous les groupes, comme nous l’avons mentionné précédemment.

À l’ordre 2, il n’existe aussi qu’un seul groupe, le groupe qui contient deux éléments : l’élément neutre e et un autre élément qu’on va noter g. On a bien sûr : e ⋅ g = g ⋅ e = g, mais que vaut g ⋅ g ? Supposons d’abord que g ⋅ g = g. Multiplions cette équation des deux cotés par l’élément symétrique de g (noté g^-1) :

Par définition de l’élément symétrique, ce qui est à droite de l’égalité est tout simplement l’élément neutre :

On utilise maintenant l’associativité :

Ce qui voudrait dire que e ⋅ g = e et donc que g = e ce qui est impossible. On en arrive à la conclusion que notre supposition de départ est fausse, et donc que g ⋅ g = e.

Cela peut paraître trop abstrait. Heureusement, il existe une façon de voir ce groupe de façon plus intuitive. Il suffit de noter l’élément neutre e = 0 et l’autre élément g = 1. L’opération de groupe fonctionne alors comme l’addition, sauf que si le résultat est plus grand ou égal à deux, on retire deux au résultat final. On a donc : 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (logique) et 0 + 0 = 0 (l’équivalent de e ⋅ e = e) et enfin 1 + 1 = 0 qui semble plus surprenant, mais logique : 2 n’est pas dans le groupe, donc on doit « revenir au début ». Une bonne analogie sont les horloges : une heure après 23:00, il est 0:00, pas 24:00 ! Ce groupe est ainsi appelé le groupe cyclique d’ordre 2 et est noté ℤ₂.

À l’ordre 3, il n’existe aussi qu’un seul groupe : le groupe ℤ₃ (groupe cyclique d’ordre 3). Ça marche comme à l’ordre deux, mais on doit retirer trois au résultat final si besoin (et non pas deux). On a donc dans ce groupe :

Cette façon de montrer les opérations de groupe s’appelle une table de Cayley. Si on veut trouver ce que donne 2+1 par exemple, if suffit de regarder l’intersection entre la troisième ligne et la deuxième colonne.

À l’ordre 4, les choses deviennent plus intéressantes. Le groupe cyclique d’ordre 4 est bien sûr présent, mais il n’est pas seul. Pour ℤ₄ on a :

On peut remarquer quelque chose d’intéressant ! Regardons la table de Cayley, en gardant uniquement 0 et 2 :

Comparons avec la table Cayley de ℤ₂ :

C’est la même structure ! On peut le voir en faisant un isomorphisme avec f(0) = 0 f(2) = 1. On voit donc que ℤ₂ est un sous-groupe de ℤ₄, c’est même l’unique sous-groupe normal propre de ℤ₄. ℤ₄ n’est donc pas un groupe simple, mais il ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit direct de deux groupes.

L’autre groupe d’ordre 4 est le groupe ℤ₂ × ℤ₂. C’est le plus petit groupe qui n’est pas un groupe cyclique et il est appelé le groupe de Klein. Un élément du groupe peut s’écrire (a, b) avec a et b étant 0 ou 1. On additionne ensuite composante par composante avec les règles d’addition de ℤ₂. L’élément neutre est e = (0, 0), et la table de Cayley est :

C’est le groupe de symétrie d’un rectangle non carré4. Dans cette interprétation, (0,0) est la transformation identité, (0,1) et (1,0) sont les réflexions (symétrie miroir) horizontales et verticales, (1,1) et une rotation de 180°. La structure de groupe correspond bien : par exemple, une rotation de 180° est bien équivalente à la combinaison d’une réflexion horizontale et d’une réflexion verticale : (1,1) = (0,1) + (1,0).

Parlons maintenant des groupes d’ordre 5 et 6 avant de prendre un peu de recul. Il existe un résultat mathématique intéressant qui dit que tous les groupes finis d’ordre p où p est un nombre premier sont des groupes cycliques. De plus, ces groupes cycliques sont des groupes simples. Comme 5 est un nombre premier, le seul groupe d’ordre 5 est ℤ₅.

À l’ordre 6, on a bien sûr ℤ₆ et ce n’est pas un groupe simple, il est même décomposable : ℤ₆ = ℤ₃ × ℤ₂. L’autre groupe à l’ordre 6 est appelé S₃, c’est le plus petit groupe non abélien et il correspond aux symétries d’un triangle équilatéral.

On ne va pas continuer pour des ordres plus élevés, on pourrait y passer notre vie ! Il nous reste encore beaucoup à apprendre des groupes, ce que l’on fera dans de prochains chapitres. Pour finir ce premier chapitre introductif, je voudrais mentionner un sujet fascinant : la classification des groupes finis simples.

Un énorme travail de classification a été pendant la seconde moitié du 20ᵉ siècle : des centaines de papiers de recherche sur plusieurs décennies, plusieurs dizaines de milliers de pages, près d’une centaine d’auteurs. Ils ont trouvé 18 familles infinies de groupes et l’une d’entre elles correspond aux groupes cycliques d’ordre p avec p un nombre premiers. Une autre correspond aux groupes de permutations paires d’ensembles finis d’ordre plus grand que 4. Une permutation est tout simplement le fait de changer l’ordre d’un ensemble d’objets ; une permutation paire correspond à un nombre pair d'inversions (une inversion revient à échanger de place deux objets). Les 16 autres familles sont plus compliquées.

La classification contient en plus ce que les mathématiciens appellent des groupes sporadiques, ce sont des groupes qui ne font pas partie des 18 familles infinies mentionnées précédemment. Il y a 26 groupes sporadiques et le plus grand d’entre eux est « fameux » pour être encore aujourd’hui une énigme mathématique difficile à comprendre : il s’appelle le « groupe monstre » et contient exactement 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 éléments.

Nous allons devoir cependant laisser de côté les groupes finis pour se concentrer sur notre prochaine étape : définir les notions de scalaires et de vecteurs, ce qui nous mettra en chemin pour définir l’espace euclidien. Ce sont les groupes infinis, et en particulier les groupes de Lie qui nous sont seront les plus utiles pour explorer la physique.