Pour ce qui suit, il est préférable de connaître les bases de la théorie des groupes et des espaces vectoriels, ou bien d’avoir lu les trois premiers chapitres. De manière générale, un niveau équivalent au bac scientifique (ou plus) est souhaitable pour le lecteur. Je vous conseille aussi fortement de lire dans un navigateur web plutôt que l’application Substack qui n’est pas au niveau sur le rendu des équations !
Commençons par une remarque importante sur le concept de linéarité et surtout de son importance. Pour rappel, une fonction linéaire est défini comme étant « compatible » avec l’addition et la multiplication, c’est-à-dire que :
\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)
et :
\(f(kx) = k f(x)\)
L’intérêt des fonctions linéaires réside dans leur simplicité. C’est pourquoi un outil souvent utilisé en mathématique et en physique est l’approximation linéaire, où une fonction est remplacée par une autre fonction, approximativement égale, et bien sûr linéaire. Prenons un exemple simple d’une fonction réelle f. Sa dérivée au point a est telle que :
\(\displaystyle f'(a) \approx \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)
Bien entendu, ce n’est qu’une approximation, valable seulement si |x - a| n’est pas trop grand, c'est-à-dire si x n’est pas trop loin de a. On a donc :
\(f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)\)
Notons que la fonction F(x) définie par :
\(F(x) = f'(a) \: x\)
est une fonction linéaire, notre fonction f(x) (qui peut être très compliquée) est remplacée par la somme d’une fonction linéaire et d’un terme constant1. Bien plus facile !
Un exemple très connu de cette méthode est le pendule simple. Son équation du mouvement est donnée par :
\(\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\)
où θ et l sont respectivement l’angle et la longueur du pendule, g est l’accélération de la pesanteur. Mais, afin de ne pas traumatiser les étudiants avec les fonctions elliptiques, on fait généralement l’approximation sinθ ≈ θ (ce qui remplace le sinus par une fonction linéaire) ce qui simplifie considérablement les choses. Tant que l’angle reste suffisamment petit, cette approximation est valable.
La période du pendule, dans cette approximation, est donnée par :
\(\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
alors que la valeur exacte est :
\(\displaystyle T = 2\pi \sqrt\frac l g \cdot \sum_{n=0}^\infty \left( \left ( \frac{(2n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\frac{\theta_0}{2}\right)\)
où θ₀ est l’amplitude du pendule. Je pense qu’on sera tous d’accord qu’on préfère éviter ces complications !
Prenons maintenant une fonction linéaire f qui pour tout vecteur v de l’espace vectoriel V nous donne un vecteur w = f(v) de l’espace vectoriel W. Prenons une base ei de V, on a donc v = vi ei (on utilise la convention d’Einstein qui omet le signe de sommation) et :
\(\begin{align*} \mathbf{w} &= f(\mathbf{v}) \\ &= f(v^i \mathbf{e}_i) \\ &= v^i f(\mathbf{e}_i) \\ \end{align*}\)
Il suffit ainsi de connaître l’image par la fonction f des éléments de la base ei pour calculer l’image de n’importe quel vecteur dont on connait les composantes.
Pour des raisons historiques, on appelle traditionnellement ces fonctions linéaires d’un espace vectoriel vers un autre (ou possiblement le même) espace vectoriel des applications linéaires. Voyons ça d’un peu plus près.
Nous allons commencer comme d’habitude par regarder ce qui se passe dans ℝ². Prenons donc une application linéaire f de ℝ² vers ℝ² tel que f(v) = w avec v = vi ei = v1 e1 + v2 e2 et w = wi ei = w1 e1 + w2 e2. Alors :
\(\mathbf{w} = v^1 f(\mathbf{e}_1) + v^2 f(\mathbf{e}_2) \)
Notons que f(e1) et f(e2) sont eux-mêmes des vecteurs de ℝ² et peuvent donc s’écrire comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base ei. On peut en conséquence écrire :
\(\begin{align*} f(\mathbf{e}_1) &= a_{11} \mathbf{e}_1 + a_{21} \mathbf{e}_2 \\ f(\mathbf{e}_2) &= a_{12} \mathbf{e}_1 + a_{22} \mathbf{e}_2 \\ \end{align*}\)
où les coefficients aij définissent l’application linéaire étant donné une base ei. En remplaçant dans l’équation précédente :
\(\begin{align*} \mathbf{w} &= v^1 (a_{11} \mathbf{e}_1 + a_{21} \mathbf{e}_2) +v^2 (a_{12} \mathbf{e}_1 + a_{22} \mathbf{e}_2)\\ &= (v^1 a_{11} + v^2 a_{12}) \, \mathbf{e}_1 + (v^1 a_{21} + v^2 a_{22}) \, \mathbf{e}_2 \end{align*}\)
C'est-à-dire, en termes de composantes :
\(\begin{align*} w^1 = a_{11} v^1 + a_{12} v^2 \\ w^2 = a_{21} v^1 + a_{22} v^2 \end{align*}\)
Par convention, ce système d’équation peut s’écrire de la façon suivante :
\(\begin{pmatrix} w^{1} \\ w^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^{1} \\ v^{2} \end{pmatrix}\)
Où l’on écrit verticalement les composantes de v et de w entre parenthèses, ce que l’on appelle des vecteurs colonnes ou parfois des matrices colonnes. Les coefficients aij sont aussi groupés entre parenthèses, dans ce que l’on appelle une matrice. Comme nous allons le voir, ce n’est pas qu’une question de notation, les matrices sont des objets mathématiques très importants en algèbre linéaire.
Les matrices seront notées en gras avec une lettre majuscule, par exemple, on peut poser :
\(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)
Ce qui permet d’écrire notre équation de façon encore plus compacte :
\(\mathbf{w} = \mathbf{Av}\)
Il faut cependant faire attention : w = f(v) est valable quelle que soit la base choisie, par contre w = Av n’est valable que pour une base spécifique.
Une matrice n×m est donc un tableau de nombres, avec n lignes et m colonnes. Une matrice colonne n’a qu’une seule colonne (et peut représenter un vecteur), une matrice ligne n’a qu’une seule ligne. Enfin, une matrice avec le même nombre de colonnes et de lignes est appelée une matrice carrée.
Notre notation w = Av suggère une multiplication entre la matrice A et la matrice colonne v. C’est donc en partant de notre identification :
\(\begin{matrix} w^1 = a_{11} v^1 + a_{12} v^2\\ w^2 = a_{21} v^1 + a_{22} v^2 \end{matrix} \; \longleftrightarrow \; \begin{pmatrix} w^{1} \\ w^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^{1} \\ v^{2} \end{pmatrix}\)
que l’on peut définir la multiplication matricielle. Nous savons ainsi déjà comment multiplier une matrice par un vecteur colonne :
\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^{1} \\ v^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} v^1 + a_{12} v^2 \\ a_{21} v^1 + a_{22} v^2 \end{pmatrix}\)
Il est possible de généraliser cette notion pour le produit AB de deux matrices quelconques, tant que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Disons, par exemple, que A est une matrice 2×3 et B une matrice 3×2, alors :
\(\begin{align*} \mathbf{AB} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{32}\\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} + a_{23} b_{31} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + a_{23} b_{32} \end{pmatrix} \end{align*}\)
De manière générale, en notant cij le coefficent de C = AB à la i-ème ligne et j-ème colonne, on a :
\(c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}\)
où n est le nombre de colonnes de A (qui est aussi le nombre de lignes de B).
Le produit matriciel permet ainsi de représenter la composition de deux applications linéaires. Supposons que f soit une application linéaire de ℝn vers ℝm et que g soit une application linéaire de ℝm vers ℝp. Comme l’espace d’« arrivée » de f est le même espace que l’espace de « départ » de g, on peut les combiner ensemble pour trouver le vecteur w = (g ∘ f)(v) = g(f(v))2. Si, étant donné un choix des bases de nos différents espaces, A est la matrice correspondant à g et B la matrice correspondant à f, alors on peut identifier :
\(\mathbf{w} = (g \circ f)(\mathbf{v}) \; \longleftrightarrow \; \mathbf{w} = \mathbf{ABv}\)
Vous n’avez donc plus jamais le droit de penser que la définition du produit matriciel semble arbitraire ! Elle correspond à la composition d’applications linéaires.
On peut donc multiplier les matrices, mais peut-on les additionner ? La réponse est oui en additionnant les coefficients correspondants, par exemple :
\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}\\ a_{21 } + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}\)
Ce qui n’est possible que si les deux matrices ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Notons que l’addition de deux fonctions linéaires est aussi une fonction linéaire, et que l’on peut faire la correspondance :
\(\mathbf{w} = (g + f)(\mathbf{v}) \; \longleftrightarrow \; \mathbf{w} = \mathbf{(A + B)v}\)
On peut aussi multiplier les matrices par un scalaire :
\(c \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \, a_{11} & c \, a_{12}\\ c \, a_{21} & c \, a_{22} \end{pmatrix} \)
ce qui correspond à la multiplication de notre application linéaire par une constante :
\(\mathbf{w} = (c \; f)(\mathbf{v}) \; \longleftrightarrow \; \mathbf{w} = c \, \mathbf{ Av}\)
Voyons maintenant quelques propriétés de ces opérations.
Le produit matriciel n’est pas commutatif ! Ce qui veut qu’en général :
\(\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}\)
Le produit matriciel est associatif :
\((\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC})\)
Le produit matriciel est distributif par rapport à l’addition matricielle :
\(\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}\)
et :
\((\mathbf{B} + \mathbf{C} )\mathbf{A} = \mathbf{BA} + \mathbf{CA}\)
La matrice identité de taille n, noté In et définie comme une matrice n×n ayant tous ses coefficients égaux à zéro, sauf sur la diagonale dans laquelle les coefficients sont égaux à un :
\(\mathbf{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)
à la propriété que si A est une matrice n×m :
\(\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A I}_m = \mathbf{A}\)
si on se restreint, par exemple, aux matrices n×n uniquement (pour un n donné) alors In est l’élément neutre de la multiplication.
Pour la suite, nous allons nous limiter aux matrices carrées, non seulement par simplicité, mais aussi parce que nous sommes intéressés aux transformations linéaires dans l’espace, pas entre deux espaces de dimensions différentes.
Une question naturelle à ce stade est la suivante : peut-on trouver l’inverse A-1 de la matrice A ? C'est-à-dire que l’on aurait :
\(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}_n\)
ce qui nous permettrait de trouver l’inverse d’une transformation linéaire. Prenons d’abord le cas particulier d’une matrice 2×2. On peut facilement montrer que :
\(\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix}\)
On remarque quelque chose de très intéressant ! Souvenons-nous qu’au précédent chapitre, nous avons montré que le déterminant de deux vecteurs est donné par :
\(\det(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21}\)
avec v1 = (a11, a21) et v2 = (a12, a22). Ce n’est pas une coïncidence ! Essayons de comprendre ce qu’il se passe. Prenons nos vecteurs de base ei, qui sont (dans cette même base) :
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
et appliquons notre matrice. On a donc :
\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}\)
et :
\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}\)
Ainsi, on peut observer que la i-ème colonne de notre matrice correspond à l’image du vecteur ei. Si on prend ensuite le déterminant de ces vecteurs, on a par conséquent le volume et l’orientation (relative à notre base) de l’image de notre base.
Que se passe-t-il si ce volume orienté (le déterminant) est égal à zéro ? Prenons un exemple concret avec la matrice :
\(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)
Le déterminant correspondant est nul, car les deux vecteurs colonnes sont colinéaires :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
L’image de notre base n’est donc pas elle-même une base, et l’ensemble des vecteurs deviennent colinéaires entre eux après transformation. C’est comme si notre espace en deux dimensions avait été aplati en une dimension. Et, comme il n’existe pas de façon linéaire de le « déplier » en deux dimensions, il n’existe pas de transformation linéaire inverse, et donc pas de matrice inverse !
En définissant le déterminant d’une matrice comme étant le déterminant des vecteurs colonnes correspondant :
\(\det(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{v}_1, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v}_n)\)
Notre formule pour l’inverse d’une matrice 2×2 se simplifie :
\(\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix}\)
Notons que la formule n’a de sens que si le déterminant est différent zéro ! Le déterminant d’une matrice est aussi noté parfois avec des lignes verticales autour de la matrice au lieu des parenthèses :
\(\det(\mathbf{A}) = \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}\)
Le cas plus général de l’inverse d’une matrice n×n est plus compliqué. Nous allons montrer la formule générale pour être complet ; mais il faut bien garder à l’esprit qu’en pratique, que ce soit par ordinateur ou à la main, il est préférable d’utiliser d’autres méthodes (par exemple, l'élimination de Gauss-Jordan). On ne va pas se casser la tête (on n’est quand même pas dans un vrai cours d’algèbre linéaire), et on va se contenter de fournir les équations sans preuves. Juste pour les admirer.
Commençons par définir la notion de mineur d’une matrice A. Le mineur (i, j) de la matrice A, noté Mij, est le déterminant de la matrice obtenue après avoir enlevé de A la ligne i et la colonne j. Par exemple, si on a :
\(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
alors :
\(M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 4, M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = - 13, \text{etc.}\)
Une propriété intéressante des mineurs est qu’ils permettent de calculer le déterminant d’une matrice récursivement :
\(\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}\)
On peut définir aussi la matrice des cofacteurs (appelée aussi la comatrice) noté Cof(A) et dont l’élément de la i-éme ligne et de la j-éme colonne est donné par :
\(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)
Encore une définition (décidément…) qui nous sera très utile : la matrice transposée, noté AT, d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Une propriété qui nous sera plusieurs fois utile dans les chapitres futurs est la suivante :
\((\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \)
Il est aussi possible de prouver l’identité :
\(\mathbf{A} \operatorname{Cof}(\mathbf{A})^\mathrm{T} = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I} \)
Notez que puisque det(A) est un nombre, la matrice A Cof(A)T est diagonale (zéro partout sauf sur la grande diagonale qui va d’en haut à gauche à en bas à droite) avec tous les coefficients diagonaux étant égaux au déterminant !
On a maintenant tous les ingrédients nécessaires pour écrire la formule de l’inverse d’une matrice n×n :
\(\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \operatorname{Cof}(\mathbf{A})^\mathrm{T}\)
Ouf ! C’est fini pour cette première mise en bouche (ou rappel) du concept de matrice. Il y aura encore beaucoup de choses à dire sur les matrices, gardons cependant cela plus tard le temps de digérer tout ça. Au prochain chapitre, nous allons (enfin !) définir l’espace euclidien.
Ces fonctions (qui sont la somme d’une fonction linéaire et d’un terme constant) sont appelées fonctions affines, mais parfois aussi fonctions linéaires par abus de langage (par exemple, dans le contexte du machine learning).
Rappelons que le symbole ∘ représente la composition de fonctions : g ∘ f est la fonction qui est équivalente au fait d’appliquer la fonction f puis la fonction g.
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