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引入 偏微分方程(Partial Differential Equation, a.k.a. PDE), 有别于常微分方程(Ordinary Differential Equation, a.k.a. ODE), 其处理的函数有更多的变量, 这也带来了额外的处理难度. 通常地讲, 即使是ODE, 我们也很难解决, 何况有更多变量的PDE了. 实际上, 我们只能解决少部分PDE. 我们简要谈论PDE与ODE的联系与区别. ODE是某种特殊的PDE, 而若对于某个PDE, 其中只涉及一个变元的导函数, 那么我们可以视其他变元为常量, 从而将PDE变成一个ODE. 但这种方法对于含有多变量的导函数的方程就不管用了, 虽然其至少给了我们一个这样的思路. 其次, 对于微分方程的Cauchy问题, PDE给出的条件也远比ODE的条件更加复杂. 同时, 由于PDE涉及更多变量, 对于某个方程,…
Abstract This article investigates the approximation theory in the sense of functional analysis, to study the inner logics of approximation. And then the condition of formal series space normability is discussed. Introduction We have once learnt the Weierstrass Approximation Theorem in Calculus courses, which indicates that ∀ f ∈ 𝒞 [ a , b ] \forall f\in\mathcal{C}[a,b] , there exists polynomial…
Preliminaries In this section we’d like to introduce some definitions and properties involved in the proof for associativity of the semi-tensor product. Definition 1 (kronecker product). Let A ∈ ℳ m × n , B ∈ ℳ p × q A \in \mathcal{M}_{m \times n}, B \in \mathcal{M}_{p \times q} , then the kronecker product A ⊗ B ∈ ℳ p m × q n A \otimes B \in \mathcal{M}_{pm \times qn} is defined A ⊗ B = [ a 11 B…
对 x n − 1 x^n-1 的多项式分解的一些技巧. from sympy import GF,symbols,factor,latex x = symbols( 'x' ) F = GF( 2 ) l = [[ 'i' , r' \( x ^ i-1 \) ' ], None ] for i in range ( 16 ): l.append([i, r" \( " + latex(factor(x ** i - 1 ,domain = F)) + " \ )" ]) return l i x i − 1 x^i-1 0 0 0 1 x + 1 x + 1 2 ( x + 1 ) 2 \left(x + 1\right)^{2} 3 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) \left(x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right) 4 (…
Abstract 这是一篇小报告，在上交之后我发表在这里。 对于常系数高阶线性方程的第二类待定系数法解，其的计算实在过于麻烦。于是 [1] 中提及一种简便方法来得到结果，那就是 辅助方程法 。但不管是网络上还是其他书籍里都少有相关方法的介绍，所以我在这里做一个简单的解释和总结。 原理 简单来说这是对欧拉恒等式的灵活运用，当在实数域时，一个 a + b i a+bi 可以看作 R a n k = 2 Rank=2 ，但在复数域内则有 R a n k = 1 Rank=1 。 辅助方程法的一个出发点是 叠加原理 ，如下所示： 定理 1 (叠加原理). 设 L [ y ] L[y] 为线性微分算子，若： y 1 ( x ) y_1(x) 是 L [ y ] = f 1 ( y ) L[y]=f_1(y) 的解； y 2 ( x ) y_2(x) 是 L [ y ] = f 2 ( y )…
All numbers discussed here is in ℝ \mathbb{R} What I'd like to discuss here is all about uniform concepts I've learnt since. And I wanna summarize them. About uniform continuity In calculus, there exists a concept called Continuity as expressed: f ( x ) f(x) is continuous at x 0 ⇔ x_0 \iff ∀ ε ∈ ℝ ∃ δ ∈ ℝ s.t. | x − x 0 | < δ ⟹ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε \forall \varepsilon \in \mathbb{R} \exists…
线性空间的不变子空间是一个重要概念. 他实际上类似于环的理想. 下面给出定义. 设 𝒜 \mathcal{A} 是数域 P P 上线性空间 V V 的线性变换, W W 是 V V 的一个子空间.如果 W W 中的向量在 𝒜 \mathcal{A} 的像仍在 W W 中,则称 W W 为 𝒜 \mathcal{A} 的不变子空间, 也称 𝒜 \mathcal A -子空间. 形象的话来描述就是 ∀ ξ ∈ W , 𝒜 ξ ∈ W . \forall{\xi\in W},\mathcal{A}\xi\in W. 最平凡的不变子空间自然是 V V 本身以及 0 {0} 子空间.我们下面来讨论一些不那么平凡的不变子空间. 首先则是 𝒜 ( V ) \mathcal{A}(V) 和 𝒜 − 1 ( 0 ) \mathcal{A}^{-1}(0) . ∀ ξ ∈ 𝒜 ( V ) ,…
一致连续性定理 也称 Cantor定理 , 叙述如下: Cantor定理 闭区间连续函数一致连续. 考虑证明思路? 如果用常规思路判断,则可以列出要证的定理: ∀ ϵ > 0 ; a , b ∈ 𝑰 ∃ δ > 0 , | a − b | < δ → | f ( a ) − f ( b ) | < ϵ \forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon 而由连续知 ∀ ϵ > 0 ; x 0 ∈ 𝑰 ∃ δ > 0 , | x − x 0 | < δ → | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ϵ \forall{\epsilon>0;x_0 \in\mathbf{I}}\exists{\delta>0},…
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