Ordin (teoria grupurilor)

În teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:

• ordinul unui grup $G$, notat $ord(G)$ sau $|G|$, este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente $ord(G)=\infty .$
• ordinul unui element $a$ dintr-un grup $G$ : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea $a^{m}=e,$ unde e este elementul neutru al grupului.

Ordinul unui element

Definiție. Fie grupul $(G,*)$ și e elementul neutru. Elementul $a\in G.$ este de ordin finit dacă:

$\exists m\in \mathbb {N} ^{*},\;\;a^{m}=e.$

În acest caz,

$\min\{m\in \mathbb {N} ^{*}|a^{m}=e\}=ord(a)$

se numește ordinul elementului $a$.

Elementul $a\in G$ este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.

Teoremă. Fie grupul $(G,*)$ și $a\in G.$

• Dacă $ord(a)=n\in \mathbb {N} ^{*},$ atunci elementele $e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}$ sunt distincte două câte două și $\forall k\in \mathbb {Z} ,\;a^{k}=a^{k(mod\;n)}.$
• $ord(a)=\infty \;\;\Leftrightarrow \;\;\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} ,\;\;a^{k_{1}}\neq a^{k_{2}}.$

Proprietăți

1. Fie grupul $(G,*).\;$ Dacă  $\;a\in G$  și  $ord(a)=n\in \mathbb {N} ^{*},$ atunci $ord\;\langle a\rangle =n$  și

$\langle a\rangle =\{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\},$

unde $\langle a\rangle =\{a^{k}\;|\;k\in \mathbb {Z} \}$ este subgrupul generat de elementul a.

2. Grupul finit  $\;G$ de ordinul $n\in \mathbb {N} ^{*}$ este ciclic  $\Leftrightarrow \;G\;$ are un element de ordinul n.

3. Fie grupul $(G,*).\;$  Dacă $x\in G,\;\;ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}$  și   $k\in \mathbb {Z} ,\;x^{k}=e,$  atunci $n|k.$

Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile: $0\leq r<ord(x)$   și   $k=ord(x)*q+r.$

Atunci $x^{k}=x^{nq+r}=(x^{n})^{q}*x^{r}$  și cum   $x^{n}=e,$  rezultă $r=0,$  deci  $k=n\cdot q,$  adică   $n|k.$

4. Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

5. Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci $(G,*)\approx (\mathbb {Z} ,+).$

6. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

7. Dacă $x,y\in G$  atunci:

a) $ord\;(x)=ord\;(x^{-1})$

b) $ord\;(x*y)=ord\;(y*x).$

Demonstrație.

a) I. Dacă $ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}\;$  atunci  $x^{n}=e$  și  $\left(x^{-1}\right)^{n}=\left(x^{n}\right)^{-1}=e^{-1}=e.$

Fie  $k=ord\;(x^{-1}).$  Din proprietatea 3 rezultă   $k|n.$

Cum   $e=\left(x^{-1}\right)^{k}=\left(x^{k}\right)^{-1},$  rezultă că   $x^{k}=e$  și cum   $ord\;(x)=e,$  din proprietatea 3 rezultă că   $n|k.$  Așadar   $n=k.$

II. Dacă  $ord\;(x)=\infty$  se va presupune că   $ord\;(x^{-1})=k\in \mathbb {N} ^{*}.$   Atunci din cazul anterior rezultă că   $ord\;(x)=ord\;(x^{-1})^{-1}=k,$  fals. Așadar   $ord\;(x^{-1})=\infty .$

b) I. Dacă  $ord\;(x*y)=n\in \mathbb {N} ^{*}$  atunci  $(x*y)^{k}=e\;\Leftrightarrow \;x*(y*x)^{k-1}*y=e\;\Leftrightarrow \;(y*x)^{k}*y=y\;\Leftrightarrow \;(y*x)^{k}=e\;\Leftrightarrow \;=e,$  așadar  $ord\;(y*x)=k'\in \mathbb {N} ^{*}$  și  $k|k.$ 

Dar  $(y*x)^{k'}=e\;\Leftrightarrow \;y*(x*y)^{k'-1}*x=e\;\Leftrightarrow \;(x*y)^{k'}=e$  și cum  $ord\;(x*y)=k$  rezultă și  $k|k'$  și deci  $k=k'.$ 

II. Dacă  $ord\;(x*y)=\infty ,$  presupunând că  $ord\;(y*x)=k\in \mathbb {N} ^{*}$  rezultă ca mai înainte că  $ord\;(x*y)=k,$  fals. Așadar  $ord\;(y*x)=\infty .$ 

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

9. Fie grupul  $(G,*)$  și  $a,b\in G$  cu  $ord\;(a)=m\in \mathbb {N} ^{*},$  astfel încât  $a*b=b*a.$  Notăm cu  $d=(m,n),\;\;p=[m,n].$  Atunci:

a)  $ord\;(a*b)\;|\;p$

b)  ${\frac {p}{d}}\;|\;ord\;(a*b).$

Demonstrație. Se știe că dacă  $a*b=b*a,$  atunci  $\forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}$ 

a) Se ține cont că  $m=d*m_{1}$  și  $n=d*n_{1},$  cu  $m_{1},n_{1}\in \mathbb {N} ,\;(m_{1},n_{1})=1,$  iar  $p=d*m_{1}*n_{1}.$ Mai departe:

$(a*b)^{p}=(a*b)^{d\cdot m_{1}\cdot n_{1}}=a^{m\cdot n_{1}}*b^{n\cdot m_{1}}=\left(a^{m}\right)^{n_{1}}\cdot \left(b^{n}\right)^{m_{1}}=e$

de unde, conform consecinței 3,  $k|p,$  unde  $ord\;(a*b)=k.$  Acum se demonstrează că  $m_{1}*n_{1}|k.$ 

$(a*b)^{k}=e\;\Rightarrow \;a^{k}=b^{-k}\;\Rightarrow \;a^{k\cdot n}=b^{-k\cdot n}=e$  și, conform consecinței 3,  $m|k\cdot n\;\Leftrightarrow \;d\cdot m_{1}|k\cdot d\cdot n_{1}\;\Rightarrow \;$

$\Rightarrow \;{\begin{cases}m_{1}|k\cdot n_{1}\\(m_{1},n_{1})=1\end{cases}}\;\Rightarrow \;m_{1}|k.$

Analog rezultă că  $n_{1}|k$  și cum  $(m_{1},n_{1})=1$  se obține  $m_{1}\cdot n_{1}\;|k.$ 

Observații

a)  $ord\;(a*b)|m\cdot n$ 

b) Dacă  $a,b\in G,\;a*b=b*a,\;ord\;(a)=m,\;ord\;(b)=n$  și  $(m,n)=1,$  atunci  $ord\;(a*b)=[m,n]=m\cdot n.$ 

c) Există situații când  $ord\;(a,b)={\frac {[m,n]}{(m,n)}}=m_{1}\cdot n_{1}.$ 

De exemplu, în grupul  $(\mathbb {Z} _{12},+),\;ord\;({\hat {6}})=2,\;ord\;({\hat {2}})=6$  și  $ord\;({\hat {2}}+{\hat {6}})=3.$ 

10. Fie grupul  $(G,*)$  și  $x\in G,\;ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}.$  Atunci:

a)  $\forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;ord\;(x^{k})|n$ 

b)  $\forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;ord\;(x^{k})={\frac {n}{(k,n)}}.$ 

11. Fie  $(G,*)$  un grup ciclic de ordinul  $n,\;G=\langle a\rangle$  și  $k\in \mathbb {Z} .$ 

Atunci:  $a^{k}$  este generator al grupului  $\Leftrightarrow \;(k,n)=1.$ 

Vezi și

• Caracteristică a unui inel sau grup
• Teorema lui Lagrange din teoria grupurilor